Tabla de todos los números primos inferiores a 100.

Construir una tabla de números primos con todos los primos que  pueden encontrarse entre los números 1 al 100, es un ejercicio en el que los alumnos deben tener muy claro  en primer lugar,  los conceptos de número primo y número compuesto.  En segundo lugar deberán conocer y utilizar los criterios de divisibilidad;  y, en último lugar,  deberemos pedir a los alumnos que sean ordenados y sigan las normas o protocolo que le habremos expuesto con anterioridad y que constituirá el procedimiento a seguir para obtenerla..

Para trabajar todo esto con los alumnos, no dejar ningún hilo suelto y tapar cualquier laguna que en ellos podamos observar,   podéis consultar las direcciones que os expreso a continuación: :  

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2011/12/mas-sobre-factorizar-o-descomponer-en.html en la que entramos de lleno en los criterios de divisibilidad y en los diferentes caminos a utilizar para  hallar el máximo común divisor y mínimo común múltiplo. En http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2011/12/maximo-comun-divisor-por-que-lo.html  nos acercamos al concepto de divisor de un número, y a los diferentes métodos que podemos utilizar para hallar el máximo común divisor, como son: el conjunto de todos los divisores y la descomposición factorial o factorización. En http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2008/05/divisores-de-un-nmero.html os invito a construir con los alumnos  una tabla para hallar el conjunto  de todos los divisores de un número.

Siguiendo en el empeño de construir la tabla de los números primos entre el 1 y el 100 tendremos que realizar lo siguiente:

Comenzaremos definiendo  el conjunto de números  en el que nos vamos a mover, y dentro de este conjunto, definiremos a su vez los conceptos de primo y compuesto.

Deberemos aclararles que en el conjunto de los números naturales  N,  existen dos tipos de números: los números primos, y los números compuestos.

¿Qué es un número primo? Es aquel que  sólo es divisible por si mismo y por la unidad.

Ejemplo: el 17, sólo es divisible por 17 y por 1. Por lo tanto es un número primo.

¿Qué es un número compuesto? El que además de ser divisible por si mismo y por la unidad, lo es también por otro u otros números.

Ejemplo: el 24, es divisible por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24, por lo tanto es un número compuesto porque es divisible por si mismo, 24; por la unidad, 1; y además lo podemos dividir también por 2, 3, 4, 6, 8,  y 12. Por lo que sin lugar a dudas es un número compuesto.

Deberemos  expresar la diferencia que existe entre infinito e ilimitado. Infinito, es lo que no tiene ni principio ni fin; e ilimitado, es lo que tiene principio pero no tiene fin.

Podremos poner ejemplos cercanos al alumno como: En una carretera  o una autopista, hay dos direcciones o sentidos, supongamos que  dicha autopista va de Norte a Sur y que nos encontramos en el punto cero, un sitio  desde donde podemos observar la carretera  mirando a nuestra derecha o a nuestra izquierda. Al mirar hacia la derecha, seguimos  con la mirada   uno de los sentidos en que podemos desplazarnos  por ella y observamos  que dicha carretera o autopista nunca termina  y, al mirar a nuestra izquierda  vemos también que tampoco  en esa dirección nuestra carretera o autopista tampoco termina. Ese es el concepto de infinito.

Infinito es cuando por mucho tiempo  que estemos desplazándonos en un sentido desde ese punto cero. nunca llegamos al norte pues siempre este punto  está mas lejos de nosotros resultando  inalcanzable. .Nos ocurre lo mismo cuando  nos desplazamos en sentido contrario desde ese punto cero  hacia el sur, tampoco llegamos nunca  pues el sur también nos resulta inalcanzable..     

Sin embargo ilimitado es cuando por esa autopista seguimos un solo sentido; vamos solo hacia el norte y hemos iniciado nuestro viaje en el punto cero, donde comienza el asfalto de dicha vía, que es donde nos encontramos,   pero nunca podemos alcanzar el norte pues el asfalto, la vía por la que nos desplazamos, nunca termina. Tiene principio pues ahí comienza el asfalto, pero desplazándonos  en esa dirección nunca llegamos al final de la carretera, no tiene fin. Ilimitado es cuando tiene principio pero no tiene fin.

La serie de los números naturales es ilimitada porque tiene principio  el 1, pero no tiene final pues el último número de la serie  siempre puede ser el siguiente número al que podemos tener en mente en ese instante como último; es decir, siempre podemos aumentarle al último número de la serie, una unidad más.

La serie de los números primos es también ilimitada por la misma razón; tiene principio pero no tiene final como ocurre  con los números naturales..

Para obtener la tabla de todos los números primos que existen entre el número 1 y el 100 deberemos seguir un protocolo: los pasos que a continuación se expresan y que vienen reflejados en la ilustración que aparece a continuación..

Profundizaremos aún más en el procedimiento a seguir para confeccionar la tabla:

1.  Escribiremos  todos los números desde el 1 al 100.

2. Tacharemos los números pares a partir del 2, excepto el 2, pues este es un número primo; eliminaremos de la tabla en cuestión, todos los números de dos en dos a partir del dos. Dicho de otro modo, eliminaremos de la tabla todos los números que terminen en cero o cifra par; es decir, todos los números que sean divisibles por dos.

De esta forma desparecerán de la tabla del 1 al 100,  todos los números pares menos uno, el 2 . los números que no aparecerán en dicha tabla  son  los siguientes : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38,  40, 42, 44, 46, 48, 50 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64,  66,  68, 70,  72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96,  98 y  el 100.

3.  A continuación tacharemos todos los múltiplos de 3;  es decir, borraremos de la tabla todos los números de tres en tres a partir del tres menos los pares  como el 12, 18, 24, 30 36… etc., que hemos eliminado con anterioridad por ser divisibles por dos  Estos números son:3, 6, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87,  93 y el  99.

4. Seguidamente, tacharemos todos los múltiplos de 5; es decir,  desaparecerán todos los números de cinco en cinco a partir del cinco excepto éste. Expresado de otra forma eliminaremos todos los números terminados en cero o en cinco; es decir, todos los números que sean divisibles por cinco  Así  que se omitirán de la tabla los siguientes números:  25, 35, 55, 65, 85, 95  pues el resto ha sido eliminado con anterioridad al eliminar los números pares y múltiplos de tres.

5.  Siguiendo con la serie de primos, tacharemos   todos los múltiplos de 7; es decir, eliminaremos de la tabla todos los números de siete en siete a partir del siete y sólo nos quedará por eliminar el 49, 77 y el 91 pues los demás habrán sido  ya eliminados.

 

Comprobaremos que después de haber eliminados todos los múltiplos de  2, 3, 5 y 7  ya tenemos confeccionada la tabla de números primos desde el 1 al 100.

Pero para asegurarnos  que hemos puesto todos los primos existentes entre el 1 y el 100 seguiremos comprobando con los múltiplos de los primos que siguen a continuación  y que son: 11, 13,  17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.

6.  Al tratar de eliminar los múltiplos del siguiente primo el 11,  comprobaremos que los que debíamos eliminar, el  22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99 ya han sido eliminados.

7.  Al tratar de eliminar los múltiplos de  13, nos daremos cuenta que el 26, 39, 52,  65,  78,  91 , también han sido eliminados.

8.  Con los múltiplos de 17,  que son 34, 51, 68 y  85, comprobaremos que tampoco aparecen en la tabla lo mismo que los múltiplos de 19 que son el 38, 57, 76 y  95, así como los múltiplos de 23, el  46,  69, y 92 , los múltiplos de 29, el  58 y 87 y los múltiplos  de 31 que son el 62 y 93 y el  único múltiplo de 37 que puede haber entre el 1 y el 100 y que es el 74,  no aparece en la tabla al igual que todos los anteriores que no están por haber sido eliminados todos ellos con anterioridad..

 9. El único múltiplo de 41 comprendido entre el 1 y el 100, el 82, el de 43, el 86 y el de 47, el 94, también han sido eliminados. Al continuar con los múltiplos de primos mayores observamos que se escapan del límite que nos hemos fijado que es el de los números comprendidos entre el 1 y el 100.

Con esta comprobación, nos habremos asegurado  haber confeccionado la tabla de números primos  del 1 al 100 sin que nos  falte ninguno.

Sobre lo expresado en esta y anteriores entradas, quedan aún pendientes aspectos didácticos y de contenidos que abordaré próximamente.

Elementos a considerar en los triángulos semejantes. Proporcionalidad. Razón de semejanza.

Dos triángulos  A B C   y  A’ B’ C’ son semejantes si los ángulos de uno  son, respectivamente, iguales a los ángulos del otro y sus lados son proporcionales.

Hay que aclarar que los elementos de un triangulo son: los lados, los ángulos, los vértices y las alturas.

En el tema de  los triángulos semejantes, para allanar y facilitar al alumnado la comprensión de los conceptos y razonamientos que vamos a utilizar,  deberemos definir lo siguiente:

Ángulos homólogos; vértices homólogos; lados homólogos y alturas homólogas.

El concepto de homólogo es algo difícil de explicar: se dice que existe homología entre los elementos de dos figuras geométricas, cuando una de esas dos figuras es la transformada de la otra. Esta transformación está sujeta a un factor "k" de proporcionalidad denominado también razón de semejanza.

Son homólogos los elementos (lados, ángulos, vértices y alturas) que al menos en dos figuras se corresponden por su posición relativa.

Llevándolo a un lenguaje más llano, si observamos las figuras de dos triángulos semejantes en el que del  primero de ellos surge el segundo triángulo fruto de una transformación por aumento o disminución conforme a un factor de proporcionalidad y a una traslación horizontal del segundo triángulo, centrándonos en uno de sus elementos, los lados, diríamos que son lados homólogos los siguientes:

1. El lado de la derecha del primer triángulo y el lado de la derecha del segundo triángulo; o lo que es lo mismo, el  lado que une el vértice derecho del lado que tomamos como base con el vértice opuesto a dicho lado.

2. El lado de la izquierda del primer triángulo y el lado de la izquierda del segundo triángulo; es decir, el que une el vértice izquierdo del lado tomado como base con el vértice opuesto a dicho lado que hemos tomado como base.

3. El lado tomado como base del primer triángulo y el lado tomado como base del segundo triángulo; es decir, el que une el vértice izquierdo de cada figura con el vértice derecho de cada una de las dos figuras.

Podemos decir también que son homólogos los elementos ya sean lados, ángulos, vértices o alturas, que en cada una de las dos figuras semejantes están colocados en el mismo orden.

Pasemos a definir estos elementos:

Ángulos homólogos o correspondientes:  Llamamos así a los ángulos respectivamente iguales de los dos triángulos.

Vértices homólogos: Son los de los ángulos homólogos.

Lados homólogos: Son los que unen vértices homólogos.

Alturas homólogas: Son las perpendiculares que parten de vértices homólogos hacia el lado opuesto.

Para una mejor visualización de  todos estos conceptos consultar la ilustración que sigue:

Una vez definidos y aclarados lo que son  elementos homólogos a dos triángulos  podemos adentrarnos en todo lo que concierne a  proporcionalidad de segmentos, razón de  semejanza,  y alturas homólogas, estas últimas por habérmelas dejado olvidadas en el tintero.

Llamamos en general razón de semejanza de dos polígonos cualesquiera y en este caso de dos triángulos al cociente constante “k” de cada dos lados homólogos.

Cada lado es “k veces” el lado homólogo del otro triángulo. Al cociente constante “k” se le llama también factor de proporcionalidad.

Denominamos alturas homólogas a las perpendiculares  que parten de vértices homólogos. La razón de dos alturas homólogas es igual a la razón de semejanza.

Valen para los polígonos semejantes las mismas definiciones que he expresado  de ángulos, vértices, lados y alturas homólogas dadas para los triángulos.

En  cuanto a proporcionalidad de segmentos debo decir, que una proporción no es más que la igualdad de dos razones. Y una razón es el cociente indicado de dos cantidades o magnitudes.

Uno de los  entes que utilizamos  con bastante asiduidad en geometría  son los segmentos.  Un segmento  no es más que un trozo de recta comprendida entre dos puntos. Los lados de cualquier polígono, que  constituyen su perímetro o frontera, son segmentos.  Y cada segmento es en realidad una magnitud de longitud,  que como tal  podemos cuantificar con un número, la expresión de una cantidad.

  

La razón de dos segmentos es la medida de uno de ellos cuando se toma el otro por unidad. Se obtiene  midiendo los dos segmentos con una unidad común y dividiendo una medida por la otra. Así si AB = 5 cm y  CD = 9 cm, podremos establecer la siguiente proporción:   AB  es a CD como 5 es a 9.

  

En la ilustración que sigue podemos observar la proporcionalidad de segmentos

Podemos establecer en la ilustración que antecede a este párrafo esta proporción entre las longitudes de los cuatro segmentos porque se cumple la propiedad fundamental de las proporciones, que dice: en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.  Es decir; que 5. 9  (producto de medios) es igual a 3. 15 (producto de los extremos).

Dar utilidad a los conceptos aprendidos es enfrentar al alumnado con la resolución de ejercicios y problemas;  valga como muestra el ejemplo que podéis observar en la ilustración que sigue.

Con esta entrada espero haber completado y desarrollado los conceptos  publicados con anterioridad sobre este tema  y que podéis consultar en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2013/11/semejanza-de-triangulos-su-didactica.html..  O bien en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2014/01/casos-de-semejanza-de-triangulos-su.html 
donde podréis también observar las transformaciones realizadas en los triángulos de algunas de las ilustraciones que en ellas aparecen.

Casos de semejanza de triángulos. Su didáctica. Aplicaciones prácticas.

Hay tres casos de semejanzas de triángulos: El primer caso  dice: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.

El segundo caso de semejanza de triángulos dice: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido.

El tercer caso de semejanza es el que enunciamos de la siguiente forma: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales

Para que todo aquél que se acerque a esta entrada vea por qué  al trazar una paralela a cualquiera de los  lados de un triángulo  obtenemos  dos triángulos  que resultan ser semejantes como se afirma en la ilustración,  consultar: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2013/11/semejanza-de-triangulos-su-didactica.html   o bien,  puede satisfacer su curiosidad  si le apetece, consultando la ilustración sobre el teorema fundamental de la semejanza de triángulos que aparece más adelante en esta entrada. El indagar en ambas ilustraciones,  llegará a aportarnos  un conocimiento más  exhaustivo de los razonamientos que a partir de los supuestos nos llevan a la  demostración. Una u otra, indistintamente, nos servirán para comprobar  lo que el teorema enuncia y ambas  nos llevarán a completar los razonamientos que debemos hacer para llegar con éxito a la demostración o conclusión.

Aclarar al alumnado que en toda demostración conviven  el  almacén de los supuestos o hipótesis y  la alacena con el conjunto de razonamientos que nos llevan a la conclusión final o  tesis, es bastante formativo.  La hipótesis  está constituida por uno o varios supuestos; que no son más, que las condiciones indispensables o necesarias  sin las cuales no puede llegarse de un modo lógico a demostrar el enunciado  al que tenemos que llegar en la conclusión final.  Son las conjeturas que se hacen sobre algo para llegar a dicha conclusión  Disposiciones que son punto de partida  de cualquier demostración.

Tesis, es lo que queremos demostrar.   

El teorema fundamental de la semejanza de triángulos  dice: Toda paralela DE a un lado AB  de un triángulo, determina con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.

Demostrar lo que afirma este teorema fundamental de la semejanza de triángulos al que nos referimos continuamente en los distintos casos de semejanza de triángulos, es lo que podemos ver y corroborar en la ilustración que aparece a continuación:

En realidad los casos de semejanza de triángulos nos plantean el mínimo de supuestos o condiciones necesarias para que dos triángulos sean semejantes. En el supuesto de que cumplan el máximo de condiciones, es decir;  si tienen los tres ángulos iguales y sus  tres lados respectivos son proporcionales,  estaríamos definiendo  en toda su amplitud el concepto geométrico de semejanza de triángulos. 
    

El mínimo de condiciones  como  tener  dos ángulos respectivamente iguales; primer caso de semejanza de triángulos. Dos lados proporcionales  e igual el  ángulo comprendido; segundo caso de semejanza de estos polígonos de tres lados.  Los tres lados proporcionales; tercer caso de semejanza de triángulos. Son puntos de partida para demostrar estas curiosidades geométricas que nos permiten presentar aplicaciones prácticas a los alumnos que servirán para afianzar y desarrollar conceptos y darle utilidad  al tema como podemos observar en la ilustración siguiente.

Enfrentarse a este tema y disfrutar con él,  tanto individualmente, como en grupo y por qué no, haciendo partícipes al propio núcleo familiar de cada alumno,  es una de las metas que un docente puede plantearse alcanzar cuando inicia este tema en sus clases.

Previamente, antes de entrar en el tema, tendremos que pedirles o suministrarles  el material a utilizar así como los útiles o herramientas necesarias a emplear, y dedicar una sesión a trabajar lo siguiente:  la construcción de ángulos sobre una recta con un transportador;  trabajaremos también la medición de ángulos así como el trazado de  paralelas con una escuadra y un cartabón; o con una regla y una escuadra, o con  una regla y un cartabón.  Por último, llevaremos sobre una recta, algunas mediciones realizadas  con compás o bigotera. Una vez  realizado y comprendido todo esto por el alumnado y familiarizados con los útiles y el material, podremos encarar el tema que nos ocupa,  para lo que no habremos necesitado más que una hora del horario de nuestra asignatura.

Es muy interesante  trabajar  la semejanza de triángulos  dibujándolos. En este caso concreto podemos dibujar los que aparecen en la  ilustración anterior  o en cualquiera de las fotos que ilustran esta entrada.

Para ello en primer lugar los dibujaremos bien sobre un panel de los que se utilizan en marquetería o sobre una hoja de cartulina.  Necesitaremos al menos  una serie de útiles como una segueta, pelos planos, acrílicos, pinceles,  un transportador de ángulos, un compás,  una regla milimetrada, escuadra, cartabón... Etc.  Tomaremos  como unidad de medida  para dimensionar sus lados una unidad en concreto: por ejemplo, el cm.

Dibujaremos sobre  el panel o  la cartulina una recta  la  RT.  No importa la inclinación que se de a la recta pues al tomar la medida con el transportador del ángulo R, el lado RS saldrá con la  inclinación debida.. Mediremos el ángulo R del triángulo RST de la ilustración  para sobre la recta RT dibujada en la cartulina o el panel, construir  dicho ángulo R con el  transportador.

Una vez construido tendremos los dos lados del ángulo R.  Desde el vértice R, marcaremos con el compás el punto T, a los 5 cm,  y sobre el lado RS,   el punto S, a los 4 cm. El 

Uniendo el punto S, con el T, tendremos el lado ST del triángulo que completará la  figura y que medirá: ST = 5 cm.

El  triángulo RST  que nos ha resultado estará formado por los lados  RS = 4 cm;   RT = 5 cm, TS = 5 cm  

El  triángulo  RST,  una vez dibujado y recortado, lo volveremos a dibujar y recortar de nuevo por segunda vez con lo que tendremos dos triángulos.

Tomando  sobre la recta RS a partir de S una distancia de 2’4 cm,  con una escuadra y un cartabón  trazaremos una paralela  MN al lado RT en uno de los dos triángulos que hemos recortado.

Después de trazar la paralela nos resultarán dos triángulos semejantes como podéis ver en el triangulo amarillo grande RST, y en el pequeño MSN de la ilustración, en el que podemos observar después de nombrar con una letra mayúscula cada  uno de  sus vértices, que tienen  dos ángulos iguales y  sus lados son proporcionales:

Para ver todo esto consultar la ilustración que sigue:

Estos dos triángulos son: Un triángulo pequeño  SMN  y otro triángulo grande el  RST,

Recortaremos el triángulo pequeño SMN, que nombraremos como  A’ B’ C’,  y, al superponerlo con el otro triángulo grande, comprobaremos que sus tres vértices respectivos tienen la misma abertura. Es decir; que el ángulo A tiene la misma amplitud que el A’; al B  le  ocurre lo mismo con el B’ y el ángulo C coincide también con el C’ por lo que al verificar esto, estaremos demostrando que tienen los tres ángulos iguales por superposición de figuras.

Podremos también comprobar en los dos triángulos  la igualdad de sus ángulos respectivos midiéndolos con el transportador.

Tomemos a continuación una distancia arbitraria como unidad  en este caso hemos cogido el cm y comprobemos cuantas veces cabe en el lado AB. 

Otros elementos  de los triángulos, sus lados, que en los triángulos semejantes son proporcionales, nos conducen a formar con sus dimensiones  una proporción.  Para comprobar todo esto podéis consultar la ilustración que viene a continuación:

Pasos a seguir  para la construcción de dos triángulos semejantes:

1. Dibujar un triángulo cualquiera sobre un papel, cartulina, tablé, panel…etc.

2. Recortar dicho triángulo.

3. Calcarlo de nuevo para obtener así dos triángulos iguales.

4, Tomar una distancia, la que queráis, desde uno de sus vértices al vértice opuesto sobre uno de sus lados.

5. Trazar desde ese punto obtenido una paralela a uno de sus lados.

6. Recortar el triángulo pequeño que nos resulta con lo que habremos obtenido un triángulo semejante al primero que recortamos. 

Una vez realizado todo esto, podremos hacer los siguientes ejercicios:

A, Nombrar con letras mayúsculas cada uno de los vértices de ambos triángulos.

B. Medir los lados del triángulo grande y anotar sus dimensiones.

C. Medir los lados del triángulo pequeño y anotar sus medidas.

D Escribir las tres razones que resultan al comparar las dimensiones de sus lados 
respectivos

D1, Primero con letras.

D2. Después con sus medidas.

D3. Por último escribir las proporciones.

E. Comprobar que dichas proporciones cumplen la propiedad fundamental de las proporciones.

F. Ver  efectivamente que los lados del triángulo grande y los lados del triángulo pequeño son proporcionales.

G. Concluir finalmente, que al tener los tres lados proporcionales, los dos triángulos son semejantes.

También  podemos comprobar y demostrar que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres ángulos iguales, y para ello, podemos utilizar el transportador o medidor de ángulos.  

  .

Emplear  el dibujo y las construcciones tanto en cartulina como en marquetería  para trabajar un tema de matemáticas, en este caso concreto de geometría, es una de las formas más interesantes de  presentarlo y desarrollarlo,  dando  al alumnado protagonismo y  participación  activa.   

 Las construcciones, sirven al alumno no sólo  para comprobar, estudiar y asimilar los conceptos que en el tema se imparten,  sino que le permiten una participación activa en el tema tanto a nivel  individual como en grupo a la vez que contribuye al desarrollo de   otras capacidades  como son: el razonamiento en general,  la observación , las destrezas manuales y manipulativas... contribuyendo también a fomentar positívamente aspectos estrictamente individuales : como son su sociabilidad y creatividad.

Semejanza de triángulos: Su didáctica.

Durante los últimos años de docencia observé que la parte del temario que  se deja para el final del curso escolar se toca poco o no da tiempo a tratarla con la suficiente intensidad. Esto es lo que a veces sucede en la asignatura de matemáticas con los temas de geometría, que al dejarlos para el final,  por  unas u  otras causas, ante la inminente finalización del curso, se dan de pasada, debido  a la falta material de tiempo con la mira puesta casi exclusivamente en  cumplir la programación.

La geometría es una parte de las matemáticas que necesita del razonamiento, del dibujo y de  las manualidades para demostrar muchos de sus teoremas, definiciones, corolarios, propiedades… etc. Por lo tanto juega un papel importante en el desarrollo de las facultades intelectuales y habilidades manuales  de los alumnos,  a la vez que requiere de la utilización y manejo  de un material y utensilios  apropiados  para trabajar los conceptos que en ella se estudian.

Para introducir el concepto de semejanza hay que enfrentarlo al concepto de igualdad y tratar de no fundamentarnos en otros conceptos de la propia geometría, que el alumno o  ha olvidado, o no posee  y, que abordarlos en ese momento para mitigar sus carencias, supondría hacer este tema mucho más extenso y complicado.

Hay que tratar de comunicar de la forma más fácil y evidente buscando el no apoyarnos en principio en conocimientos  adquiridos con anterioridad en cursos inferiores, pues la mayoría de las veces, éstos no satisfarán nuestras previsiones. Si no hay mas remedio,  deberemos procurar que estos conocimientos sirvan de trampolín para  aclarar y hacer comprensibles los nuevos conceptos  que vamos a suministrar, fluyendo durante la exposición de una forma natural. Deberá ser una prioridad el que aparezcan totalmente integrados en el tema. 

En Geometría dos triángulos son semejantes  si tienen todos sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Ver la ilustración que aparece a continuación.

Partiendo de la definición de ángulo que dice: “ángulo es la abertura formada por dos líneas que se cortan o unen en un punto llamado vértice”. Podemos demostrar la igualdad de los tres ángulos de dos triángulos como aparece en la ilustración que sigue sin razonamientos complicados,  sólo utilizando para ello  la superposición de figuras..

Esto  puede llevarse a cabo en clase, utilizando una cartulina, unas tijeras, una escuadra y  un cartabón. Calcaremos dos veces el modelo de triángulo suministrado por el  profesor que utilizaremos como triángulo patrón.  Y con la escuadra y el cartabón trazaremos una paralela a uno de los lados de  uno de los triángulos que hemos calcado. Observaremos que en ese triángulo se nos ha formado un triángulo pequeño que recortaremos para realizar la demostración.   

 Numeraremos los ángulos  tanto en el triángulo pequeño que nos ha resultado al trazar la paralela con los números (1’. 2’. 3’), como en el triángulo grande, que hemos dejado sin tocar y cuyos ángulos hemos numerado con los digitos (1, 2, 3).

 Superpondremos el triángulo pequeño por el ángulo 1’  con  el ángulo 1 del triángulo grande para comprobar si son iguales, Repetiremos lo mismo con los otros ángulos comprobando de esta forma que también son iguales.

De esta forma habremos demostrado que los triángulos semejantes tienen sus tres ángulos iguales.

Como  podéis ver para efectuar la demostración, se ha obviado la  clasificación de los ángulos  y  por supuesto el conjunto de ángulos que surgen cuando  dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, que expondré en una próxima entrada. En ésta, sólo he definido lo que es un ángulo.     

Podemos deducir  y enunciar de todo lo expuesto anteriormente el teorema fundamental de la semejanza de triángulos que dice: Toda paralela  A’B’ a un lado AB  de un triángulo determina con los otros dos lados  un triángulo semejante al primero. Aquí introducimos el concepto de ángulos correspondientes como podemos ver en la ilustración que aparece a continuación.

Los temas a impartir deben tener una utilidad evidente, es decir; que los alumnos no puedan decir y esto a mi para qué me  va a servir. Para no dar tiempo a que se cuestionen la utilidad del tema que estamos estudiando, los llevaremos a calcular la altura de un edificio o  de una torre conociendo la sombra que proyecta en ese momento.  Para ello utilizaremos  una regla, palo o tutor  como podemos ver en la ilustración que sigue, aplicando lo expuesto en la semejanza de triángulos.

Es importante aplicar la teoría aprendida sobre este tema en una clase práctica; al aire libre. Para ello podemos salir del aula  a cualquier parque para averiguar la altura de algunos árboles y edificios del entorno. Para esta actividad  es interesante  dividir al alumnado en grupos de  cuatro o cinco miembros y dotarlos con una cinta métrica (un decámetro) y una regla de obra de metal o madera.

Para establecer la proporción diremos: La altura de la torre es a su sombra, como la altura de la regla es a la sombra que proyecta. La altura de la torre será igual al producto de los medios partido por el extremo conocido.

  

En una próxima entrada trabajaremos más sobre la semejanza de triángulos, y   abordaremos  otros recursos a utilizar en este tema.  

Las regletas Cuisenaire. Números en color; nuevos pasos a seguir.

El 11-11-2007, comencé mi andadura por este blog expresando la importancia que tiene el que  los niños desde preescolar inicien la manipulación unas veces libre y otras dirigidas de este material para introducirlos de una forma activa  en la verdadera matemática. Si queréis profundizar sobre todo ello podéis consultar: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2007/11/los-nmeros-en-color-las-regletas.html

El 26-11-2007,  en un segundo artículo fomenté la utilización de las regletas desde muy temprana edad  para que los niños además de manipularlas lleguen a responsabilizarse de ellas, y empiecen a discriminarlas  por longitudes y colores llegando a los conceptos de mayor y menor interpretando las escaleras simples y compuestas. Para una mejor comprensión del proceso consultar:  http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2007/11/escaleras-en-matemticas-conceptos-de.html

El 12-12-2007, continué la andadura con las regletas Cuisenaire por el blog,  con construcciones cuadradas o rectangulares a las que llamamos mosaicos. Dichas construcciones y el comentario sobre las mismas podéis consultarlos en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2007/12/mosaicos-en-matemticas.html

El 19-04-2008  escribí sobre la utilización en las escuelas del material conocido como “Regletas”  como un camino para llevar a los niños a: relacionar, expresar matemáticamente lo que construyen con ellas, realizar sencillas operaciones… iniciándolos  mediante seriaciones, conceptos de anterior y posterior, mayor y menor que, descomposición de números…  Todos estos recursos didácticos podéis consultarlos  con más profundidad en: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2008/04/unidades-de-primero-y-segundo-orden.html

En el presente artículo continúo haciendo un repaso sobre todo esto a la vez que  profundizo, hago hincapié o introduzco nuevos conceptos y contenidos mediante la manipulación que de este material, como podéis comprobar en las ilustraciones con las que comienza, hacen los niños.

El objetivo que perseguimos es que los niños mientras juegan vayan adquiriendo los conceptos esenciales en que se basan la matemáticas. Las regletas son un medio para la comprensión del comportamiento de los números, por lo tanto  en opinión de algunos, no deberíamos considerarlo un método sino un material que nos ayudará a conseguir lo que tendríamos que lograr con cualquier método.

Razones de su eficiencia.

Las razones  que se aducen para demostrar la eficiencia de  las regletas son entre otras:

-         El niño no depende para conocer de los procesos mentales de otras personas, él es el origen de su propio conocimiento.

-         Puede experimentar la validez de todo enunciado establecido por él o por otra persona.

-         Adquiere el conocimiento de las relaciones matemáticas mediante su propia actividad.

-         Todos los procesos matemáticos se presentan mediante juegos de construcciones.

-         El niño descubre, que dentro de  las composiciones que realiza con tanta facilidad, se encuentran muchos procesos matemáticos relacionados entre sí y comprueba que las matemáticas son algo mental.

-         Se desarrolla la capacidad inventiva matemática del niño que es, en definitiva uno de los grandes objetivos que la matemática moderna persigue.

-         Las matemáticas dejan de ser escalonadas, porque el niño puede entrar en cualquier tema,  mediante una serie de juegos, cada uno de los cuales le proporciona una determinada experiencia matemática.

-         El conjunto de regletas constituye un verdadero modelo de álgebra elemental, en el que el alumno puede descubrir todo lo que podría enseñársele por los caminos tradicionales.

-         No debemos intentar relacionar inmediatamente las regletas con la aritmética. Lo importante es que los niños se familiaricen con el material.

Para que los niños se familiaricen con este material, existen una serie de actividades o juegos.   

   Distintos tipos de juegos:

Juegos de reconocimiento de las dimensiones: Colocamos en una bolsa regletas de la blanca a la amarilla. El niño  deberá meter la mano en la bolsa, coger una regleta y antes de sacarla decir el color que tiene la regleta que ha cogido.

El juego se puede realizar por grupos y poner unas normas:

De inicio se puede colocar la bolsa en el centro y proveer a cada jugador con dos o tres regletas para pagar.

Normas de aplicación en el juego: 

1.  Se comienza con cinco regletas y se van añadiendo regletas a medida que se vaya dominando el juego hasta meter en la bolsa los diez colores.

2. El que acierta la regleta la gana.

3. El que falla introduce de nuevo la regleta en la bolsa.

4. Se pierden regletas ganadas por fallo.

5. El que falla y no tiene regletas sostiene la bolsa o queda eliminado o va a la cárcel hasta que el resto de jugadores hayan intervenido dos veces.

La gallina ciega: Es una variante del anterior. A un niño se le vendan los ojos (servirá como gallina ciega) mientras que los demás forman un corro alrededor de él. Los integrantes del corro portarán una regleta cada uno y darán vueltas girando en torno de él. Cuando la gallina atrape a uno de los niños deberá adivinar la regleta al tacto. Si la acierta dejará de ser gallina y el otro pasará a ocupar su lugar. Caso de que no acierte quedará de gallina. Más de doce jugadores no es aconsejable;  pueden reunirse dos o tres grupos para este juego.

Juegos de memoria: Ordenaremos las regletas  unidas lateralmente, según sus longitudes y formaremos una escalera. Con esta escalera entramos en una serie de juegos basados en la experiencia de ordenación por longitudes.

Primero se pide al niño que nombre los colores de las regletas que constituyen la escalera desde la más pequeña hasta la mayor. Después deben intentar repetirla de memoria subiendo y bajando la escalera. Hecho esto, se le pide que nombre las regletas en orden pero saltando de dos en dos. Se nombra una regleta y le pedimos que nos diga la anterior y la posterior (todo con los ojos cerrados).

Llegados a este punto las regletas tienen que adquirir un nombre.  Se  aconseja hacer nombrar a la blanca con el nombre “uno”, la roja con el “dos”… etc.  Hay  algunos que no  son partidarios de dar los nombres de los números a las regletas  y sugieren darles otros nombres o bien nombrarlas con la primera letra del color.

Hacer trenes.  Se sugiere al niño  la construcción de trenes de un solo color, de modo que vea  que para conseguir una determinada longitud  se necesitan menos regletas largas que cortas. Lo que interesa en esta etapa es que el niño explore las posibilidades  de las regletas y que se recree con su investigación.

Cuando los alumnos están familiarizados  con las regletas  y conoce su longitud, su color y su nombre, estamos en condiciones de practicar unos juegos que girando alrededor de lo aprendido le permita considerar las cuatro operaciones básicas que pueden hacerse con los conjuntos de los números naturales: suma resta, multiplicación y división. El alumno llegará a discriminar con toda claridad los conceptos de igual,  distinto o desigual, equivalente,  mayor que y menor que, e irá adquiriendo simultáneamente una visión de conjunto y estas operaciones las deducirá  de las diferentes maneras en que ha sido colocado el material.

Estos juegos en los que siempre cabe la posibilidad de inventar nuevas variantes, llevan en su práctica las nociones de adición y ecuación. El signo  =  que es leído normalmente tanto como  “igual a…”  que  como “equivalente a…”  produce en mí  un cierto rechazo ya que soy partidario de utilizar los signos desde un principio correctamente.  

Cuando los niños hayan hecho muchas descomposiciones, estarán preparados para representarlas por escrito así:

  n  =  a + r =  b + V =  r + v + r  = b + r + b + v = r + R+ b;

Se pueden hacer ejercicios inversos que consisten en dar las descomposiciones por escrito  para convertirlas en descomposiciones  con regletas.

Adiciones o sumas y sustracciones o restas:

De las descomposiciones que con un mosaico  realizamos podemos obtener tantas adiciones o sumas como sustracciones o restas. Si iniciamos la construcción de un mosaico o tabla partiendo de la  regleta negra (ver la penúltima ilustración que se encuentra al final de este artículo) y quitamos una regleta de la derecha de cada línea, observaremos  que el referido margen derecho del mosaico, no queda recto, sino que es irregular.  A continuación,  mezclamos todas las regletas eliminadas y hacemos que el niño reconstruya cada línea para restablecer la forma rectangular. El niño irá cogiendo de entre las regletas mezcladas la que considera que pertenece a cada línea.

Se puede practicar este tipo de juego con signos escritos en lugar de regletas así:

a + x = V;  v + x = N;

Se escribe x en sustitución del número, letra o  espacio libre sin regleta que al interpretar las líneas  construidas con este material no es más que la incógnita que  hay que buscar.

Se explica a los niños que esto puede expresarse mediante otra nueva notación así:   V – a = x;     N – v = x; 

El niño acepta fácilmente la introducción del signo menos si lo mostramos.

Deben plantearse a los niños muchos ejercicios, introduciendo paréntesis que indican, simplemente, que tenemos que efectuar la operación  encerrada en ellos antes de atender al conjunto del ejercicio,  así podemos plantearles:

 Azul – (verde claro + rojo) = x;    x – (rosa + rojo) = blanca; que expresado en la nomenclatura de las regletas quedaría así:    A – (v + r) = x;  x – (R + r) = b       

Multiplicaciones:

Buscamos  realizar descomposiciones con las regletas cuyas longitudes se puedan igualar a varias más pequeñas de un mismo color. Observamos la posibilidad de hacerlas con algunas regletas y con otras no. Hemos encontrado los números compuestos y los primos. Deducimos el concepto de factores y divisores.

Deben hacerse infinidad de ejercicios para encontrar factores de: Por ejemplo.

(azul + verde claro) = 2 por verde oscuro = 6 por roja = 3 por rosa = 4 por verde claro.

(A +v) = 2. V = 6. r  = 3. R = 4. v

    12    = 2. 6  = 6. 2 = 3. 4  = 4. 3

Los factores de (A + v), serían:  V, r, R y v.

Para que los niños descubran los productos se le hacen cruzar las regletas.  Ejemplo: 7 veces  marrón. (7 x 8 = 56). Se les hace formar el rectángulo correspondiente. Siete regletas marrones. Luego se colocan estas regletas unidas por los extremos formando un tren y se mide su longitud con el resto de regletas de la siguiente forma:

7 x marrón = 5 x naranja + V;  o lo que es lo mismo: 7 x 8 = 56

 Su escritura en la nomenclatura de las regletas sería: 7.m = 5.N + V; 

Divisiones cortas: Debemos proponer a los niños que hagan descomposiciones  de una longitud dada con la condición de usar regletas de un solo color. Así:      m= 8b = 4r = 2R;

Observando la expresión podemos hacer la siguiente lectura:

Una marrón es igual a la marrón. Ocho blancas son iguales a la marrón; cuatro rojas son iguales a la marrón; dos rosas son iguales a la marrón.

Si la longitud en vez de ser una sola regleta esta constituida por varias, los ejercicios son más complejos y el alumno está comprobando cuantas veces está una magnitud contenida en otra magnitud mayor.  Pueden también plantearse divisiones no exactas. Así: (A + n).

Sin  lugar a dudas este material, las regletas, son de gran utilidad para la recuperación de alumnos que por unos u  otros motivos se detecta a posteriori,  que  no son capaces de  entender  y asimilar algunos  de los conceptos matemáticos. Espero que este artículo complemente  a los anteriores  y os sirva de ayuda para vuestras clases.   

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Modelos de problemas resueltos

Como prometí en una entrada publicada el 17 de diciembre de 2011, titulada “Más sobre factorizar o descomponer en factores primos. Criterios de divisibilidad y múltiplos. Mínimo común múltiplo”  que podéis consultar en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/12/mas-sobre-factorizar-o-descomponer-en.html  y que completa a  la  publicada con  anterioridad, titulada: “Máximo común divisor ¿Por qué lo llamamos así? Número de divisores. Hallar el conjunto de todos los divisores” que vió la luz  el 1 de diciembre de 2011 y que tenéis a vuestra disposición en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/12/maximo-comun-divisor-por-que-lo.html  con los que traté de continuar los contenidos tratados en  un tercero que me sirvió para iniciar  este tema  y que  apareció en las páginas de este blog más lejos en el tiempo y al que titulé: “Divisores de un número” publicado el 27 de mayo de 2008 y que si os apetece lo podéis encontrar en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2008/05/divisores-de-un-nmero.html  en donde comento  todo lo referente a la mecánica o automatismos que  debemos utilizar o aplicar en los diversos ejercicios que nos pueden plantear,  y  la necesidad que tiene el alumnado de basarse  en  los conocimientos teóricos que les transmitimos sobre dicho tema. 


Para continuar con todo esto, enlazo en la presente entrada con el último párrafo donde expresaba mi intención de trabajar  sobre  las aplicaciones que existen o podemos encontrar  en el campo del raciocinio o resolución de problemas, para abarcar todo lo que acerca del m. c. d. y el m. c. m.,  debe conocer cualquier alumno de los dos primeros cursos de la E. S. O, y de esta forma tomar conciencia de lo necesario e imprescindible que resultan estos conocimientos tanto en la resolución de problemas como en un amplio abanico de ejercicios básicos.

Los enunciados de  problemas que nos pueden aparecer son muy diversos  y pueden ir desde la consabida pregunta “¿Cuál es el menor número que….?”, pasando por enunciados que comienzan expresando lo siguiente: “ Los soldados de un batallón pueden formar en filas de dos en dos, tres en tres, cuarenta y ocho en cuarenta y ocho, ciento veinte en …” u otros como: Tres coches dan vueltas a un circuito el primero tarda en dar cada vuelta  78 segundos; el segundo coche…”  otro  modelo de enunciado es: “Se quiere embaldosar un patio  de  36 m. de largo y 16 m de ancho utilizando el menor nº de baldosas  cuadradas posibles …” Todos estos tipos de enunciados con sus soluciones puedes analizarlos en las ilustraciones que aparecen en este artículo.

Quiero hacer hincapié sobre el cuido que los docentes debemos tener con los enunciados de los problemas. Deben  ser claros y estar bien redactados. El dar clases de matemáticas no nos exime de utilizar el lenguaje con toda la riqueza y belleza que seamos capaces así como de la utilización de todos los recursos que estén  a nuestro alcance.  Facilitaremos de esta forma al alumnado  una mejor comprensión no sólo de los enunciados de los referidos problemas sino también de los contenidos de toda la materia.

 Con este pequeño abanico de enunciados que se  aplican en el campo del razonamiento sobre el m. c. d.  y  m. c. m., dejo por el momento este artículo esperando sea de utilidad a todo aquel que se asome a este blog, especialmente al alumnado que necesite  despejar dudas  u  obtener alguna  información sobre los distintos tipos o  modelos de problemas  que sobre este tema nos pueden aparecer.