Para conseguir una gran agilidad mental y realizar la descomposición factorial, de cualquier número con rapidez y eficacia, es necesario hacer de uno, los criterios de divisibilidad.
Debemos saber que descomponer un número en sus factores primos o factorizar es expresar un número en el producto de sus primos. Para ello debemos conocer al menos cuando un número es divisible por 2,3, 5, 7, y 11, como mínimo. Esta agilidad y velocidad en las operaciones mentales descomponiendo números y resolviendo ejercicios se consigue conociendo y aplicando entre otros recursos matemáticos, los criterios de divisibilidad; que son:
1. Un número es divisible por dos cuando termina en cero o cifra par.
3276 y 340 son divisible por dos porque cumplen esta condición .
2. Un número es divisible por tres cuando la suma de los valores absolutos de su cifras dan 3 o un múltiplo de tres.
1236 es divisible por 3 porque al sumar todos los dígitos que componen sus cifras 1+2+3+6 = 12; y 12, es un múltiplo de 3, por lo tanto 1236 es divisible por tres.
3. Un número es divisible por cinco cuando termina en cero o en cinco.
2865 y 12680 son divisibles por cinco porque ambos cumplen la condición de terminar en cero o en cinco.
4. Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número que resulta prescindiendo de la cifra de las unidades y el doble de las cifras de las unidades es 0, ó múltiplo de 7.
343 es divisible por 7, porque 34 número que resulta de prescindir del dígito de la unidades que es 3, al restarlo del doble de este dígito que nos da 6, obtenemos: 34 – 2.3 = 28; y 28, es divisible por 7. Por lo tanto 343 es divisible por 7
2205 es divisible por 7, porque 220 – 2.5 = 210; y 210 es divisible por 7. Por lo tanto 2205 es divisible por 7.
5. Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de lugar impar menos las cifras de lugar par dan cero, 11 o un múltiplo de 11.
121 es divisible por 11 porque:
La suma de las cifras de lugar impar, la primera y la tercera, son: 1 + 1 = 2
Y la suma de las cifras de lugar par, en este caso una sola es el número 2.
Al realizar la resta o diferencia de las cifras de lugar impar menos las de lugar par 2 – 2 = 0. Por lo tanto 121 es divisible por 11.
Los criterios de divisibilidad podemos ampliarlos con números que no sean primos como los expuestos hasta ahora. Así seguiríamos con los números: 4, 6, 8, 9, 10, 25,125… que aunque no nos sirven para factorizar o descomponer un número en el producto de sus primos, si nos proporcionan unos conocimientos que nos ayudarán a desarrollar aún más nuestra agilidad mental.
Debemos saber que descomponer un número en sus factores primos o factorizar es expresar un número en el producto de sus primos. Para ello debemos conocer al menos cuando un número es divisible por 2,3, 5, 7, y 11, como mínimo. Esta agilidad y velocidad en las operaciones mentales descomponiendo números y resolviendo ejercicios se consigue conociendo y aplicando entre otros recursos matemáticos, los criterios de divisibilidad; que son:
1. Un número es divisible por dos cuando termina en cero o cifra par.
3276 y 340 son divisible por dos porque cumplen esta condición .
2. Un número es divisible por tres cuando la suma de los valores absolutos de su cifras dan 3 o un múltiplo de tres.
1236 es divisible por 3 porque al sumar todos los dígitos que componen sus cifras 1+2+3+6 = 12; y 12, es un múltiplo de 3, por lo tanto 1236 es divisible por tres.
3. Un número es divisible por cinco cuando termina en cero o en cinco.
2865 y 12680 son divisibles por cinco porque ambos cumplen la condición de terminar en cero o en cinco.
4. Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número que resulta prescindiendo de la cifra de las unidades y el doble de las cifras de las unidades es 0, ó múltiplo de 7.
343 es divisible por 7, porque 34 número que resulta de prescindir del dígito de la unidades que es 3, al restarlo del doble de este dígito que nos da 6, obtenemos: 34 – 2.3 = 28; y 28, es divisible por 7. Por lo tanto 343 es divisible por 7
2205 es divisible por 7, porque 220 – 2.5 = 210; y 210 es divisible por 7. Por lo tanto 2205 es divisible por 7.
5. Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de lugar impar menos las cifras de lugar par dan cero, 11 o un múltiplo de 11.
121 es divisible por 11 porque:
La suma de las cifras de lugar impar, la primera y la tercera, son: 1 + 1 = 2
Y la suma de las cifras de lugar par, en este caso una sola es el número 2.
Al realizar la resta o diferencia de las cifras de lugar impar menos las de lugar par 2 – 2 = 0. Por lo tanto 121 es divisible por 11.
Los criterios de divisibilidad podemos ampliarlos con números que no sean primos como los expuestos hasta ahora. Así seguiríamos con los números: 4, 6, 8, 9, 10, 25,125… que aunque no nos sirven para factorizar o descomponer un número en el producto de sus primos, si nos proporcionan unos conocimientos que nos ayudarán a desarrollar aún más nuestra agilidad mental.
6. Un número es divisible por cuatro cuando sus dos ultimas cifras son ceros o un múltiplo de cuatro.
500 es divisible por cuatro por terminar en dos ceros.
724 es divisible por cuatro porque sus dos últimas cifras 24, es un múltiplo de 4.
7. Un número es divisible por 6 cuando lo es por dos y por tres a la vez.
426 es divisible por tres porque la suma de sus cifras 4+2+6= 12 y como 12 es un múltiplo de tres, 426 es divisible por tres. Y, como termina en cifra par lo es también por dos . Por lo tanto 426, al ser divisible por 2 y por 3 a la vez lo es también por 6.
8. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o son múltiplo de 8.
17000 es divisible por 8 porque termina en tres ceros.
3128 es divisible por 8 porque sus tres ultimas cifras, 128, es un múltiplo de 8. Ya que 8.16=128.
9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras dan 9 o un múltiplo de 9.
98721 es múltiplo de 9 porque 9+8+7+2+1= 27: y 27 es un múltiplo de 9. Por lo tanto el número 98721 es un múltiplo de 9, porque cumple esa condición.
10. Un número es divisible por 10, 100, 1000…. Cuando termina en uno, dos, tres ceros…
Por la misma razón que para multiplicar por 10, 100, 1000... se añaden uno, dos, tres ceros a uno o varios dígitos, un número es divisible por 10, 100, 1000 cuando podemos suprimirles o eliminarles a esos dígitos que conforman ese número terminados en 10, 100,1000... uno, dos o tres ceros.
500 es divisible por cuatro por terminar en dos ceros.
724 es divisible por cuatro porque sus dos últimas cifras 24, es un múltiplo de 4.
7. Un número es divisible por 6 cuando lo es por dos y por tres a la vez.
426 es divisible por tres porque la suma de sus cifras 4+2+6= 12 y como 12 es un múltiplo de tres, 426 es divisible por tres. Y, como termina en cifra par lo es también por dos . Por lo tanto 426, al ser divisible por 2 y por 3 a la vez lo es también por 6.
8. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o son múltiplo de 8.
17000 es divisible por 8 porque termina en tres ceros.
3128 es divisible por 8 porque sus tres ultimas cifras, 128, es un múltiplo de 8. Ya que 8.16=128.
9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras dan 9 o un múltiplo de 9.
98721 es múltiplo de 9 porque 9+8+7+2+1= 27: y 27 es un múltiplo de 9. Por lo tanto el número 98721 es un múltiplo de 9, porque cumple esa condición.
10. Un número es divisible por 10, 100, 1000…. Cuando termina en uno, dos, tres ceros…
Por la misma razón que para multiplicar por 10, 100, 1000... se añaden uno, dos, tres ceros a uno o varios dígitos, un número es divisible por 10, 100, 1000 cuando podemos suprimirles o eliminarles a esos dígitos que conforman ese número terminados en 10, 100,1000... uno, dos o tres ceros.
11. Un número es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son ceros o un múltiplo de 25.
300, 3725, 2975 son divisibles por 25 por terminar en dos ceros el primero y los otros dos por terminar en 25 y 75 que son múltiplos de 25. Ya que 25.1=25, y 25.3=75.
12. Un número es divisible por 125, si sus tres ultimas cifras son ceros o un múltiplo de 125.
5000, 725o, 3875 son divisibles por 125 por terminar en tres ceros el primero y los otros dos por terminar en 250 y 875, que son múltiplos de 125. Ya que 125.2=250 y 125.7=875,
Un número es múltiplo de otros dos, cuando es el resultado de un producto o una multiplicación.
5.4=20; 20 es múltiplo tanto de 5 como de 4.
Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicarlo por la serie de los números naturales y en un estadio más avanzado por los números enteros.
Todo número distinto de cero es múltiplo tanto de si mismo como de la unidad.
Todo número distinto de cero tiene infinitos múltiplos-
El cero es múltiplo de todos los números.
El cero es múltiplo de todos los números.
Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.
Entre las propiedades de los múltiplos podemos citar estas:
1. Que la suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dichos número.
2. La diferencia de dos múltiplos de un número es un nuevo multiplo de dicho número.
3.Si un número es múltiplo de otro y éste lo es de un tercero el primero es también múltiplo del tercero.
4. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primer número lo son también del segundo.
Mínimo común múltiplo. Llamamos mínimo común múltiplo de dos o más números o de varios números, al menor múltiplo que es común a esos números.
Mínimo común múltiplo. Llamamos mínimo común múltiplo de dos o más números o de varios números, al menor múltiplo que es común a esos números.
El mínimo común múltiplo se puede hallar de dos formas: Por descomposición factorial o por el conjunto de los múltiplos.
Por descomposición factorial cogiendo los comunes y no comunes con el mayor exponente.
Por el conjunto de los múltiplos, obteniendo de cada uno de ellos los múltiplos que nos resultan de efectuar su producto por la serie de los números naturales o enteros según convenga.
Si queréis ampliar y profundizar sobre estos dos métodos o procedimientos para hallar el m. c. m, consultar tanto las ilustraciones de esta entrada como la dirección: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/12/maximo-comun-divisor-por-que-lo.html en donde expreso lo que es factorizar, cómo se halla el conjunto de todos los divisores de un número y como podemos obtener el m. c. d, que también podemos conseguir utilizando dos procedimientos; mediante la descomposición en factores primos y por el conjunto de todos los divisores.
Espero que esta entrada junto con otra que publicaré próximamente sobre aplicaciones en el campo del raciocinio o resolución de problemas, os sirva para completar todo lo que acerca del m. c. d. y el m. c. m., debe conocer cualquier alumno de los dos primeros cursos de la E. S. O, y de esta forma tomar conciencia de lo necesario e imprescindible que resultan estos conocimientos tanto en la resolución de problemas como en un amplio abanico de ejercicios básicos.
Por descomposición factorial cogiendo los comunes y no comunes con el mayor exponente.
Por el conjunto de los múltiplos, obteniendo de cada uno de ellos los múltiplos que nos resultan de efectuar su producto por la serie de los números naturales o enteros según convenga.
Si queréis ampliar y profundizar sobre estos dos métodos o procedimientos para hallar el m. c. m, consultar tanto las ilustraciones de esta entrada como la dirección: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/12/maximo-comun-divisor-por-que-lo.html en donde expreso lo que es factorizar, cómo se halla el conjunto de todos los divisores de un número y como podemos obtener el m. c. d, que también podemos conseguir utilizando dos procedimientos; mediante la descomposición en factores primos y por el conjunto de todos los divisores.
Espero que esta entrada junto con otra que publicaré próximamente sobre aplicaciones en el campo del raciocinio o resolución de problemas, os sirva para completar todo lo que acerca del m. c. d. y el m. c. m., debe conocer cualquier alumno de los dos primeros cursos de la E. S. O, y de esta forma tomar conciencia de lo necesario e imprescindible que resultan estos conocimientos tanto en la resolución de problemas como en un amplio abanico de ejercicios básicos.
4 comentarios:
Hola, ilustre Cristóbal. Soy una antigua alumna suya, del colegio Guadalquivir (años 88-91, puede ser). Por entonces, me llamaban Juanita y por sus manos pasamos casi toda la familia Andrade: Gema, Raúl, Arturo, Mª José, Moisés y yo. Me ha dado mucha alegría encontrarme por casualidad con su blog. Guardo con mucho cariño los recuerdos que tengo del colegio: patios, amigos, maestros... Unos años más tarde, ahora también yo (salvando las distancias con quienes supusieron para mí un modelo en muchos aspectos), me dedico a la enseñanza. Y, aunque me queda un largo camino aún, puedo decir que es una profesión preciosa... Gracias por los valores, inquietudes, las corcheas, semicorcheas, las canciones, las flautas, los intrumentos artesanales ... la paciencia y la ilusión con que nos deleitó y transmitió en cada una de sus clases. Y esto va por usted y cuantos fueron nuestros profesores.
Espero que le vaya muy bien, esté descansando de tanto niño y se sienta orgulloso de su fantástica labor docente. Feliz año nuevo. Un saludo.
Juana Andrade Ortiz (Juanita)
Hola Juana; me ha causado una gran alegría el que hayas entrado en el blog y aún más el que hayas tenido la deferencia de recordarme a todos tus hermanos que a lo largo de los años tuve la suerte de tener como alumnos. Fuísteis todos sin excepción, respetuosos y trabajadores; cumplidores de vuestros deberes como alumnos a la par que educados. Fue muy fácil trabajar con todos vosotros pues los conocimientos y valores que tratábamos de inculcaros no caían al vacío.Deseo tengas las máximas satisfacciones en tu profesión como yo las tuve durante mi ejercicio. Feliz año y un fuerte abrazo.
Me gustaron los ejercicios de m.c.m. y m.c.d. Gacias.
Mónica; me alegra sobremanera el que te resulten interesantes todos los ejercicios que propongo en esta entrada sobre m.c.d y m.c. m. Gracias a tí por hacer uso de ellos y por ponerte en contacto conmigo animándome con tu actitud en la tarea emprendida. Un cordial saludo.
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