Denominamos máximo común divisor (m. c. d.), a un número, cuando éste es el mayor por el que podemos dividir a los dos, tres o más que nos pueden proponer en un enunciado.
Decimos que es un divisor, por que divide a todos y cada uno de estos números. Pues al efectuar la división con cada uno de ellos, ésta es exacta; es decir, nos da de resto cero.
Decimos que es común, porque el referido número entra a formar parte como un elemento del conjunto de todos los divisores de cada uno de los números propuestos; es decir, porque aparece en el conjunto de todos los divisores de cada uno de estos números.
Es máximo por que es el mayor, el de mayor valor absoluto. Porque es el último de la serie del conjunto de todos los divisores en orden creciente de cada uno de ellos que es capaz de dividir a todos los propuestos.
Ser divisor de un número requiere algunas condiciones o propiedades aunque en las que se relacionan a continuación no estén todas.
1. Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente; es decir, cuando al efectuar la división su resto es cero.
2. Todo número es divisor de si mismo.
3. El 1, es divisor de todos los números.
La segunda y tercera propiedad las podemos condensar o refundir en una con lo que enunciamos de nuevo la segunda propiedad:
2. Todo número es divisible por si mismo y por la unidad.
3. Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual que él.
De esta propiedad se deduce que el conjunto de todos los divisores de un número es finito. El menor de ellos sería el uno y el último el número en cuestión.
4. Si un número es divisor de otros dos también lo es de su suma y de su diferencia.
5. Si un número es divisor de otro también lo es de cualquiera de sus múltiplos.
Para hallar el máximo común divisor de dos o más números puede hacerse de dos formas.
1. La primera forma es mediante el conjunto de todos los divisores de los números propuestos. (ver la primera ilustración que aparece al principio de esta entrada) y, para aclarar aún más la mecánica que hay que seguir podéis consultar:
http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2008/05/divisores-de-un-nmero.html
También podéis completar algo más sobre todo esto en esta otra dirección:
http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2008/06/las-matemticas-y-las-nuevas-tecnologas.html
2. La segunda forma o manera de realizarlo es mediante la descomposición factorial de cada uno de los números propuestos en un producto de factores primos.
Si lo realizamos por descomposición factorial o por el producto de sus factores primos se toman los comunes con el menor exponente. (Ver la segunda ilustración que aparece al principio de esta entrada)
También podemos hallar sólo y exclusivamente la cantidad o el número de divisores que tiene cualquier número sin detenernos a enumerar cuales son. Para ello después de descomponer dicho número en el producto de sus factores primos procederemos de la siguiente forma:
Añadiremos a cada exponente del producto de los primos una unidad y después, con los números que nos resultan efectuaremos su producto. El resultado nos dará el número de divisores o la cantidad de divisores que tiene ese número.
El número 75600 = 2.2.2.2.3.3.3,5.5.7; Los exponentes de los primos de este número son: 4, 3, 2 y 1; Si le añadimos una unidad a cada exponente tendremos: (4+1). (3+1). (2+1). (1+1); sumando lo que hay dentro de los paréntesis obtendríamos estos valores: 5. 4. 3. 2 ; y al efectuar estos productos sería = 120; Este último valor nos esta indicando el número de divisores o la cantidad de divisores que tiene el 75.600. (Ver la 3ª ilustración que aparece al principio de esta entrada)
En la 4ª ilustración hago referencia a los números que terminan en uno o varios ceros y la posibilidad de realizar su descomposición factorial utilizando un método simplificado que facilita bastante su descomposición. Para daros cuenta de la diferencia que existe entre aplicar o no aplicar la descomposición simplificada a los números terminados en cero, (Ver la 5ª y última ilustración de esta entrada).
Una norma metodológica que se debe aplicar y exigir por parte del profesorado a los alumnos en la descomposición factorial o factorización es la de comenzar por el número primo menor hasta que no podamos seguir dividiendo y continuar del mismo modo con los primos que siguen en orden creciente, es decir; dividiendo cuando el numero en cuestión y los cocientes que resultan sean divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …
Dejo para otra ocasión y para no hacer esta entrada interminable, las aplicaciones que en la resolución de problemas tiene no sólo el tema de los divisores sino también el de los múltiplos que próximamente abordaré.
Espero que este artículo complemente a los otros dos que sobre este mismo tema le anteceden y aclare las dudas que puedan tener tanto cualquier persona como cualquier alumno de un 1º o un 2º curso de la E. S. O, que se acerque a este blog intentando satisfacerlas.
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