Mas sobre factorizar o descomponer en factores primos. Criterios de divisibilidad y Múltiplos. Mínimo común múltiplo.

Para conseguir una gran agilidad mental y realizar la descomposición factorial, de cualquier número con rapidez y eficacia, es necesario hacer de uno, los criterios de divisibilidad.
Debemos saber que descomponer un número en sus factores primos o factorizar es expresar un número en el producto de sus primos. Para ello debemos conocer al menos cuando un número es divisible por 2,3, 5, 7, y 11, como mínimo. Esta agilidad y velocidad en las operaciones mentales descomponiendo números y resolviendo ejercicios se consigue conociendo y aplicando entre otros recursos matemáticos, los criterios de divisibilidad; que son:

1. Un número es divisible por dos cuando termina en cero o cifra par.
3276 y 340 son divisible por dos porque cumplen esta condición .

2. Un número es divisible por tres cuando la suma de los valores absolutos de su cifras dan 3 o un múltiplo de tres.

1236 es divisible por 3 porque al sumar todos los dígitos que componen sus cifras 1+2+3+6 = 12; y 12, es un múltiplo de 3, por lo tanto 1236 es divisible por tres.

3. Un número es divisible por cinco cuando termina en cero o en cinco.
2865 y 12680 son divisibles por cinco porque ambos cumplen la condición de terminar en cero o en cinco.

4. Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número que resulta prescindiendo de la cifra de las unidades y el doble de las cifras de las unidades es 0, ó múltiplo de 7.

343 es divisible por 7, porque 34 número que resulta de prescindir del dígito de la unidades que es 3, al restarlo del doble de este dígito que nos da 6, obtenemos: 34 – 2.3 = 28; y 28, es divisible por 7. Por lo tanto 343 es divisible por 7

2205 es divisible por 7, porque 220 – 2.5 = 210; y 210 es divisible por 7. Por lo tanto 2205 es divisible por 7.

5. Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de lugar impar menos las cifras de lugar par dan cero, 11 o un múltiplo de 11.

121 es divisible por 11 porque:
La suma de las cifras de lugar impar, la primera y la tercera, son: 1 + 1 = 2
Y la suma de las cifras de lugar par, en este caso una sola es el número 2.
Al realizar la resta o diferencia de las cifras de lugar impar menos las de lugar par 2 – 2 = 0. Por lo tanto 121 es divisible por 11.

Los criterios de divisibilidad podemos ampliarlos con números que no sean primos como los expuestos hasta ahora. Así seguiríamos con los números: 4, 6, 8, 9, 10, 25,125… que aunque no nos sirven para factorizar o descomponer un número en el producto de sus primos, si nos proporcionan unos conocimientos que nos ayudarán a desarrollar aún más nuestra agilidad mental.

6. Un número es divisible por cuatro cuando sus dos ultimas cifras son ceros o un múltiplo de cuatro.
500 es divisible por cuatro por terminar en dos ceros.
724 es divisible por cuatro porque sus dos últimas cifras 24, es un múltiplo de 4.

7. Un número es divisible por 6 cuando lo es por dos y por tres a la vez.
426 es divisible por tres porque la suma de sus cifras 4+2+6= 12 y como 12 es un múltiplo de tres, 426 es divisible por tres. Y, como termina en cifra par lo es también por dos . Por lo tanto 426, al ser divisible por 2 y por 3 a la vez lo es también por 6.

8. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o son múltiplo de 8.
17000 es divisible por 8 porque termina en tres ceros.
3128 es divisible por 8 porque sus tres ultimas cifras, 128, es un múltiplo de 8. Ya que 8.16=128.

9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras dan 9 o un múltiplo de 9.

98721 es múltiplo de 9 porque 9+8+7+2+1= 27: y 27 es un múltiplo de 9. Por lo tanto el número 98721 es un múltiplo de 9, porque cumple esa condición.

10. Un número es divisible por 10, 100, 1000…. Cuando termina en uno, dos, tres ceros…
Por la misma razón que para multiplicar por 10, 100, 1000... se añaden uno, dos, tres ceros a uno o varios dígitos, un número es divisible por 10, 100, 1000 cuando podemos suprimirles o eliminarles a esos dígitos que conforman ese número terminados en 10, 100,1000... uno, dos o tres ceros.

11. Un número es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son ceros o un múltiplo de 25.
300, 3725, 2975 son divisibles por 25 por terminar en dos ceros el primero y los otros dos por terminar en 25 y 75 que son múltiplos de 25. Ya que 25.1=25, y 25.3=75.

12. Un número es divisible por 125, si sus tres ultimas cifras son ceros o un múltiplo de 125.
5000, 725o, 3875 son divisibles por 125 por terminar en tres ceros el primero y los otros dos por terminar en 250 y 875, que son múltiplos de 125. Ya que 125.2=250 y 125.7=875,

Un número es múltiplo de otros dos, cuando es el resultado de un producto o una multiplicación.
5.4=20; 20 es múltiplo tanto de 5 como de 4.

Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicarlo por la serie de los números naturales y en un estadio más avanzado por los números enteros.

Todo número distinto de cero es múltiplo tanto de si mismo como de la unidad.

Todo número distinto de cero tiene infinitos múltiplos-

El cero es múltiplo de todos los números.

Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.

Entre las propiedades de los múltiplos podemos citar estas:

1. Que la suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dichos número.

2. La diferencia de dos múltiplos de un número es un nuevo multiplo de dicho número.

3.Si un número es múltiplo de otro y éste lo es de un tercero el primero es también múltiplo del tercero.

4. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primer número lo son también del segundo.

Mínimo común múltiplo. Llamamos mínimo común múltiplo de dos o más números o de varios números, al menor múltiplo que es común a esos números.

El mínimo común múltiplo se puede hallar de dos formas: Por descomposición factorial o por el conjunto de los múltiplos.

Por descomposición factorial cogiendo los comunes y no comunes con el mayor exponente.

Por el conjunto de los múltiplos, obteniendo de cada uno de ellos los múltiplos que nos resultan de efectuar su producto por la serie de los números naturales o enteros según convenga.

Si queréis ampliar y profundizar sobre estos dos métodos o procedimientos para hallar el m. c. m, consultar tanto las ilustraciones de esta entrada como la dirección: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/12/maximo-comun-divisor-por-que-lo.html en donde expreso lo que es factorizar, cómo se halla el conjunto de todos los divisores de un número y como podemos obtener el m. c. d, que también podemos conseguir utilizando dos procedimientos; mediante la descomposición en factores primos y por el conjunto de todos los divisores.

Espero que esta entrada junto con otra que publicaré próximamente sobre aplicaciones en el campo del raciocinio o resolución de problemas, os sirva para completar todo lo que acerca del m. c. d. y el m. c. m., debe conocer cualquier alumno de los dos primeros cursos de la E. S. O, y de esta forma tomar conciencia de lo necesario e imprescindible que resultan estos conocimientos tanto en la resolución de problemas como en un amplio abanico de ejercicios básicos.

Más sobre discriminación sonora o discriminación auditiva. Dictados de graves, agudos, medios y glissandos.

Los dictados de graves, agudos, medios y glissandos son ejercicios que tienen ante todo la finalidad de trabajar y desarrollar en los niños la capacidad de distinguir sonidos por su mayor o menor altura . Entran dentro de los ejercicios denominados de discriminación sonora o de discriminación auditiva con los que no sólo podemos desarrollar esta facultad sino que también podemos fomentar el desarrollo de otras. En nuestro deambular por estos ejercicios de discriminación sonora o de discriminación auditiva, según los queramos denominar, realizados mediante dictados progresivos, en los que podemos ir añadiendo poco a poco nuevas dificultades, comenzaremos por repasar tanto su escritura, es decir: los grafismos que vamos a utilizar para expresar por escrito lo que hemos oído, como su nomenclatura; o lo que es lo mismo: las sílabas y palabras con los que vamos a denominar o nombrar a estos símbolos o grafismos verbalmente para expresarlos de viva voz. Estos dictados en la mayoría de los casos son imposibles de entonar, pues los sonidos que manejamos superan con creces la tesitura de nuestra voz y sobre todo el ámbito sonoro o tesitura que pueden abarcar las voces blancas que son las que poseen los niños con los que trabajamos. Si podemos escribir estos dictados que estamos realizando con un xilófono contralto y que aparecen como ejemplo en las ilustraciones, pero como podréis observar, los sonidos que utilizamos en estos dictados la mayoría de las veces son imposibles de entonar con la voz por los intervalos tan amplios que hay de unos sonidos a otros. Por otro lado no es entonar lo que perseguimos con estos dictados, en realidad sólo pretendemos en un principio desarrollar en el niño exclusivamente la capacidad de distinguir en cada secuencia, si los sonidos que se dictan son: agudos, graves o medios.

Es decir; en este tipo de dictados, estaremos trabajando sólo una cualidad del sonido: su altura o tono, y, para que no quepa la menor duda sobre todo cuando los iniciamos, los sonidos que iremos utilizando serán muy diferenciados; es decir, que atacaremos el mas agudo de los agudos para a continuación hacer vibrar la placa mas grave de las graves y por último jugaremos con la placa central del instrumento donde se encontrará el sonido medio más medio de los sonidos medios. En definitiva; utilizaremos en un principio el más agudo y el más grave del instrumento y cuando añadamos un sonido medio atacaremos el sonido central del instrumento. Para ello utilizaremos la primera placa de la izquierda del instrumento que nos da el sonido más grave: el “do” y la última placa de la derecha de dicho xilófono contralto que nos da el “la” el sonido más agudo de su tesitura como propuse en: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/10/como-iniciar-los-dictados-musicales-con.html A estos dos sonidos en este momento le añadiremos uno más el que daremos con la placa central de dicho instrumento que nos dará el sonido “si”; con lo cual estaremos trabajando y discriminando los sonidos graves, medios y agudos dentro de esa tesitura, la que abarca un xilófono contralto diatónico. Antes de realizar el dictado deberemos dar a conocer a los niños los sonidos que vamos a dictarles y por la dificultad que existe para entonarlos, ya que del sonido mas grave al sonido más agudo del xilófono contralto hay una distancia superior a la que existe entre el sonido más grave y el más agudo que podemos emitir con nuestra voz, utilizaremos una nomenclatura para poder leer los dictados sin entonar pero que determinen estos con claridad y sin equívocos. Así utilizaremos: PON para el grave, PEN para el medio y PIN para el agudo. Cuando trabajemos los glissandos y los añadamos como un nuevo sonido en las secuencias que dictemos, ampliaremos la nomenclatura con: PONREÍN, para los glissandos ascendentes que abarcan la tesitura completa del instrumento y PINREÓN, para los glissandos descendentes que también abarcan completa su tesitura. A medida que vayamos complicando estos dictados podremos utilizar los glissandos ascendentes fraccionados hasta llegar al completo y utilizaremos: PONR, PONRE, PONREI, en sentido ascendente, y PINR, PINRE, PINREI, en sentido descendente. Me permitiré delimitar o acotar estos glissandos para un mejor entendimiento y ejecución de los mismos.

PONR glissando ascendente que llega al inicio de los sonidos medios PONRE glissando ascendente que alcanza los sonidos medios hasta algo más de su mitad. PONREI glissando ascendente que supera los sonidos medios y se adentra en los agudos. PONREIN glissando ascendente que resbala sobre la tesitura completa del instrumento. Y continuaremos con los glissandos descendentes fraccionados PINR glissando descendente que llega al inicio de los sonidos medios por la parte mas aguda PINRE glissando descendente que llega y agota los sonidos medios de la tesitura del instrumento PINREO glissando descendente que llega a los sonidos graves hasta su mitad o algo mas de su mitad. PINREÓN glissando descendente que agota la tesitura completa del instrumento que estamos utilizando. El juego consiste en que el alumnado oiga la ejecución que realiza el profesor de la primera secuencia completa. Una vez escuchada la secuencia ejecutada por el profesor, los alumnos escribirán esa secuencia en el soporte individual sobre el que estén trabajando (cuaderno, pizarra…) A continuación el profesor repetirá esta secuencia para que los alumnos puedan efectuar alguna corrección si lo creen oportuno. Seguidamente el profesor ejecutará la 2ª secuencia completa y los alumnos procederán una vez oída a escribirla en su soporte individual a la que seguirá la repetición para que cada alumno verifique, que lo expresado por escrito coincide con lo dictado por el profesor; y seguiremos así sucesivamente hasta completar las cuatro o cinco secuencias que tenga el dictado. Una vez dictadas todas las secuencias, es decir; completado el dictado, el profesor procederá a ejecutarlo íntegramente para que los alumnos puedan efectuar la última corrección y eliminar cualquier error que pudieran tener. Una vez terminada esta última corrección y comprobación, del conjunto de alumnos que tengan el dictado al completo y crean que lo tienen bien saldrá el que ejecutará lo que tiene escrito. En este caso el alumno se elegirá ateniéndonos a dos criterios. Por haberlas finalizado el primero y por tener todas las secuencias anotadas en el soporte o cuaderno. Para efectuar la corrección, ejecutará en dicho xilófono las secuencias que a su juicio ha dictado el profesor leyendo lo que él ha percibido y expresado por escrito sobre el soporte utilizado ya sea éste papel, pizarra digital o convencional, pizarra de rotuladores o pantalla de ordenador.

No me cansaré de insistir en que deben realizarse y no pueden omitirse como una parte del juego las ejecuciones que los niños deben hacer con el instrumento que estemos utilizando ante todos sus compañeros de las secuencias dictadas. ya que el salir al estrado para efectuar la corrección del dictado realizado por todos sus compañeros le sirve como estímulo y premio por haber finalizado el primero todas las secuencias dictadas y al completo. Paralelamente estaremos trabajando con estos ejercicios para el desarrollo de la capacidad discriminatoria, nuestra memoria auditiva. Y, al tocar en el xilófono cada secuencia para su corrección siguiendo las normas dadas de ejecución del instrumento con antelación, también estaremos trabajando nuestro esquema corporal, pues los alumnos estarán tomando conciencia de su eje de simetría o centro al trabajar su lado derecho e izquierdo mientras utiliza su brazo y muñeca tanto de un lado como de otro para percutir con los mazos las distintas placas del xilófono. Tomarán conciencia con la ayuda del profesor de su derecha y su izquierda y estarán consiguiendo con estas ejecuciones lo que se ha llamado “desarrollo de su lateralidad” tomarán conciencia de su eje o centro y también adquirirán el concepto del área base desarrollando a su vez su sentido del equilibrio. Todo esto lo irán adquiriendo al colocarse frente al instrumento a la vez que estarán también ejercitando el sentido de ubicación y localización en el espacio al percutir unas determinadas placas. El alumno para representar estos sonidos aislados tanto graves, como agudos o medios podrá utilizar círculos del tamaño de una redonda con un color de relleno, el negro, o círculos vacíos del mismo tamaño en el que sólo aparece dibujada su frontera o circunferencia Como podéis observar en la tabla de “sonidos, nomenclatura y símbolos” que encabeza este artículo. Para que el alumno ejecute en el xilófono cada secuencia, después de finalizado el dictado al objeto de corregirlo y de haberlas escrito en el soporte que se haya convenido, se les podrá presentar el instrumento con todas sus placas o sólo con las que debe percutir. Esto último se hace cuando los niños son de muy corta edad y sólo se trabajan los agudos, graves y medios. Pero cuando el alumnado es de más edad, y además de los sonidos mencionados se utilizan los glissandos, el instrumento deberá usarse con todas sus placas para contribuir al desarrollo de su esquema corporal así como del sentido de ubicación y localización en el espacio. Espero que esta entrada contribuya a disipar cualquier duda que podamos tener sobre como trabajar en nuestras clases los ejercicios de discriminación auditiva así como la forma de aplicar algunos recursos metodológicos para un buen desarrollo de los mismos.

Máximo común divisor. ¿Por qué lo llamamos así? Número de divisores. Hallar el conjunto de todos los divisores.

Denominamos máximo común divisor (m. c. d.), a un número, cuando éste es el mayor por el que podemos dividir a los dos, tres o más que nos pueden proponer en un enunciado. Decimos que es un divisor, por que divide a todos y cada uno de estos números. Pues al efectuar la división con cada uno de ellos, ésta es exacta; es decir, nos da de resto cero. Decimos que es común, porque el referido número entra a formar parte como un elemento del conjunto de todos los divisores de cada uno de los números propuestos; es decir, porque aparece en el conjunto de todos los divisores de cada uno de estos números. Es máximo por que es el mayor, el de mayor valor absoluto. Porque es el último de la serie del conjunto de todos los divisores en orden creciente de cada uno de ellos que es capaz de dividir a todos los propuestos.

Ser divisor de un número requiere algunas condiciones o propiedades aunque en las que se relacionan a continuación no estén todas. 1. Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente; es decir, cuando al efectuar la división su resto es cero. 2. Todo número es divisor de si mismo. 3. El 1, es divisor de todos los números. La segunda y tercera propiedad las podemos condensar o refundir en una con lo que enunciamos de nuevo la segunda propiedad: 2. Todo número es divisible por si mismo y por la unidad. 3. Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual que él.

De esta propiedad se deduce que el conjunto de todos los divisores de un número es finito. El menor de ellos sería el uno y el último el número en cuestión. 4. Si un número es divisor de otros dos también lo es de su suma y de su diferencia. 5. Si un número es divisor de otro también lo es de cualquiera de sus múltiplos. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números puede hacerse de dos formas.

1. La primera forma es mediante el conjunto de todos los divisores de los números propuestos. (ver la primera ilustración que aparece al principio de esta entrada) y, para aclarar aún más la mecánica que hay que seguir podéis consultar: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2008/05/divisores-de-un-nmero.html También podéis completar algo más sobre todo esto en esta otra dirección: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2008/06/las-matemticas-y-las-nuevas-tecnologas.html 2. La segunda forma o manera de realizarlo es mediante la descomposición factorial de cada uno de los números propuestos en un producto de factores primos. Si lo realizamos por descomposición factorial o por el producto de sus factores primos se toman los comunes con el menor exponente. (Ver la segunda ilustración que aparece al principio de esta entrada)

También podemos hallar sólo y exclusivamente la cantidad o el número de divisores que tiene cualquier número sin detenernos a enumerar cuales son. Para ello después de descomponer dicho número en el producto de sus factores primos procederemos de la siguiente forma: Añadiremos a cada exponente del producto de los primos una unidad y después, con los números que nos resultan efectuaremos su producto. El resultado nos dará el número de divisores o la cantidad de divisores que tiene ese número. El número 75600 = 2.2.2.2.3.3.3,5.5.7; Los exponentes de los primos de este número son: 4, 3, 2 y 1; Si le añadimos una unidad a cada exponente tendremos: (4+1). (3+1). (2+1). (1+1); sumando lo que hay dentro de los paréntesis obtendríamos estos valores: 5. 4. 3. 2 ; y al efectuar estos productos sería = 120; Este último valor nos esta indicando el número de divisores o la cantidad de divisores que tiene el 75.600. (Ver la 3ª ilustración que aparece al principio de esta entrada) En la 4ª ilustración hago referencia a los números que terminan en uno o varios ceros y la posibilidad de realizar su descomposición factorial utilizando un método simplificado que facilita bastante su descomposición. Para daros cuenta de la diferencia que existe entre aplicar o no aplicar la descomposición simplificada a los números terminados en cero, (Ver la 5ª y última ilustración de esta entrada). Una norma metodológica que se debe aplicar y exigir por parte del profesorado a los alumnos en la descomposición factorial o factorización es la de comenzar por el número primo menor hasta que no podamos seguir dividiendo y continuar del mismo modo con los primos que siguen en orden creciente, es decir; dividiendo cuando el numero en cuestión y los cocientes que resultan sean divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

Dejo para otra ocasión y para no hacer esta entrada interminable, las aplicaciones que en la resolución de problemas tiene no sólo el tema de los divisores sino también el de los múltiplos que próximamente abordaré. Espero que este artículo complemente a los otros dos que sobre este mismo tema le anteceden y aclare las dudas que puedan tener tanto cualquier persona como cualquier alumno de un 1º o un 2º curso de la E. S. O, que se acerque a este blog intentando satisfacerlas.