martes, 27 de mayo de 2008

Divisores de un número.






Hallar todos los divisores de un número sin excepción.

Una forma de trabajar con los alumnos el conjunto de los divisores de un número es el que relato a continuación.

Partimos siempre de que los alumnos saben realizar una descomposición en factores primos y escribirla correctamente.
Sea por ejemplo el nº 120, al que queremos hallar el conjunto de todos sus divisores.

Una vez realizada la descomposición factorial, expresaremos el número mediante el producto de sus factores primos. 120= 23 . 3 . 5
Después de plasmar sobre el soporte papel el producto de los primos haremos el siguiente razonamiento:
Para llegar a 23, tenemos que pasar por todas estas potencias 20, 21, 22 y 23.
Para llegar a 3, deberemos pasar por las potencias 30 y 31.
Para llegar a 5, deberemos pasar al igual que con el nº primo anterior por 50 y 51

Para conseguir todos los divisores de un número deberemos expresar en la tabla que vamos a confeccionar los productos siguientes:
  1. El 1, que en este caso es el 30, deberemos multiplicarlo por todas las potencias del 2.
  2. El 3 lo multiplicaremos por todas las potencias de 2, que en este caso son: 20, 21, 22 y 23.
  3. El 5 también lo multiplicaremos por todas las potencias de 2, que son las expresadas con anterioridad.
  4. Y el producto de 3 por 5, que es el único producto de primos que nos falta por realizar, lo multiplicaremos también por todas las potencias de 2. (20, 21, 22 y 23).

A continuación construiremos una tabla en la que la 1ª fila tendrá de izquierda a derecha 5 celdas. La primera celda será para expresar que la tabla en este caso concreto, es para los divisores de 120. (D 120) y escribiremos en las celdas restantes todas las potencias por las que hay que pasar para llegar a 23 ; es decir, 20, 21, 22 y 23

D 120

20

21

22

23

30





31





5





3 . 5







Cada columna de esa tabla tendrá para este caso concreto que nos ocupa 5 celdas (tendrá el mismo número de celdas tanto en las filas como en las columnas). En total 25 celdas.

La primera columna acogerá en sus celdas de arriba abajo lo siguiente: en la primera de ellas D 120, que sería el título de la tabla, y en las celdas restantes, todas las potencias por las que hay que pasar para llegar a 3; es decir, 30 y 31. Todas las potencias por las que hay que pasar para llegar a 5; es decir, 50 y 51, eliminando ya en esa columna el 50, por estar ya el 30, que es el mismo número. En la última celda de la 1ª columna escribiremos el producto de los dos únicos primos que quedan por efectuar: el producto (3.5).
O lo que es lo mismo el 30, 31, 5, y 3.5 , se colocarán en la primera columna por la izquierda en la 2ª, 3ª, 4ª y 5ª celdas de dicha columna respectivamente.

Sólo nos quedará ya el hallar los números efectuando el producto de cada celda de la primera columna por todas las celdas de la 1ª fila tal como se puede observar en la última ilustración que antecede a este artículo, consiguiendo de esta forma averiguar el conjunto de todos los divisores de 120, que ordenaremos tal y como a continuación se expresa.

D120 = (1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120)

En realidad una vez obtenidos los números que corresponden a las celdas que integran la fila de 30, que son el 1,2,4,8 , multiplicaremos el resto de los primos de la descomposición que están colocados en la primera columna por estos números consiguiendo así el resto del conjunto de todos los divisores.

Este camino para hallar todos los divisores de un número gustaba bastante a los alumnos por tener la misma mecánica que el juego de los barquitos.