Casos de semejanza de triángulos. Su didáctica. Aplicaciones prácticas.

Hay tres casos de semejanzas de triángulos: El primer caso  dice: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.

El segundo caso de semejanza de triángulos dice: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido.

El tercer caso de semejanza es el que enunciamos de la siguiente forma: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales

Para que todo aquél que se acerque a esta entrada vea por qué  al trazar una paralela a cualquiera de los  lados de un triángulo  obtenemos  dos triángulos  que resultan ser semejantes como se afirma en la ilustración,  consultar: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2013/11/semejanza-de-triangulos-su-didactica.html   o bien,  puede satisfacer su curiosidad  si le apetece, consultando la ilustración sobre el teorema fundamental de la semejanza de triángulos que aparece más adelante en esta entrada. El indagar en ambas ilustraciones,  llegará a aportarnos  un conocimiento más  exhaustivo de los razonamientos que a partir de los supuestos nos llevan a la  demostración. Una u otra, indistintamente, nos servirán para comprobar  lo que el teorema enuncia y ambas  nos llevarán a completar los razonamientos que debemos hacer para llegar con éxito a la demostración o conclusión.

Aclarar al alumnado que en toda demostración conviven  el  almacén de los supuestos o hipótesis y  la alacena con el conjunto de razonamientos que nos llevan a la conclusión final o  tesis, es bastante formativo.  La hipótesis  está constituida por uno o varios supuestos; que no son más, que las condiciones indispensables o necesarias  sin las cuales no puede llegarse de un modo lógico a demostrar el enunciado  al que tenemos que llegar en la conclusión final.  Son las conjeturas que se hacen sobre algo para llegar a dicha conclusión  Disposiciones que son punto de partida  de cualquier demostración.

Tesis, es lo que queremos demostrar.   

El teorema fundamental de la semejanza de triángulos  dice: Toda paralela DE a un lado AB  de un triángulo, determina con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.

Demostrar lo que afirma este teorema fundamental de la semejanza de triángulos al que nos referimos continuamente en los distintos casos de semejanza de triángulos, es lo que podemos ver y corroborar en la ilustración que aparece a continuación:

En realidad los casos de semejanza de triángulos nos plantean el mínimo de supuestos o condiciones necesarias para que dos triángulos sean semejantes. En el supuesto de que cumplan el máximo de condiciones, es decir;  si tienen los tres ángulos iguales y sus  tres lados respectivos son proporcionales,  estaríamos definiendo  en toda su amplitud el concepto geométrico de semejanza de triángulos. 
    

El mínimo de condiciones  como  tener  dos ángulos respectivamente iguales; primer caso de semejanza de triángulos. Dos lados proporcionales  e igual el  ángulo comprendido; segundo caso de semejanza de estos polígonos de tres lados.  Los tres lados proporcionales; tercer caso de semejanza de triángulos. Son puntos de partida para demostrar estas curiosidades geométricas que nos permiten presentar aplicaciones prácticas a los alumnos que servirán para afianzar y desarrollar conceptos y darle utilidad  al tema como podemos observar en la ilustración siguiente.

Enfrentarse a este tema y disfrutar con él,  tanto individualmente, como en grupo y por qué no, haciendo partícipes al propio núcleo familiar de cada alumno,  es una de las metas que un docente puede plantearse alcanzar cuando inicia este tema en sus clases.

Previamente, antes de entrar en el tema, tendremos que pedirles o suministrarles  el material a utilizar así como los útiles o herramientas necesarias a emplear, y dedicar una sesión a trabajar lo siguiente:  la construcción de ángulos sobre una recta con un transportador;  trabajaremos también la medición de ángulos así como el trazado de  paralelas con una escuadra y un cartabón; o con una regla y una escuadra, o con  una regla y un cartabón.  Por último, llevaremos sobre una recta, algunas mediciones realizadas  con compás o bigotera. Una vez  realizado y comprendido todo esto por el alumnado y familiarizados con los útiles y el material, podremos encarar el tema que nos ocupa,  para lo que no habremos necesitado más que una hora del horario de nuestra asignatura.

Es muy interesante  trabajar  la semejanza de triángulos  dibujándolos. En este caso concreto podemos dibujar los que aparecen en la  ilustración anterior  o en cualquiera de las fotos que ilustran esta entrada.

Para ello en primer lugar los dibujaremos bien sobre un panel de los que se utilizan en marquetería o sobre una hoja de cartulina.  Necesitaremos al menos  una serie de útiles como una segueta, pelos planos, acrílicos, pinceles,  un transportador de ángulos, un compás,  una regla milimetrada, escuadra, cartabón... Etc.  Tomaremos  como unidad de medida  para dimensionar sus lados una unidad en concreto: por ejemplo, el cm.

Dibujaremos sobre  el panel o  la cartulina una recta  la  RT.  No importa la inclinación que se de a la recta pues al tomar la medida con el transportador del ángulo R, el lado RS saldrá con la  inclinación debida.. Mediremos el ángulo R del triángulo RST de la ilustración  para sobre la recta RT dibujada en la cartulina o el panel, construir  dicho ángulo R con el  transportador.

Una vez construido tendremos los dos lados del ángulo R.  Desde el vértice R, marcaremos con el compás el punto T, a los 5 cm,  y sobre el lado RS,   el punto S, a los 4 cm. El 

Uniendo el punto S, con el T, tendremos el lado ST del triángulo que completará la  figura y que medirá: ST = 5 cm.

El  triángulo RST  que nos ha resultado estará formado por los lados  RS = 4 cm;   RT = 5 cm, TS = 5 cm  

El  triángulo  RST,  una vez dibujado y recortado, lo volveremos a dibujar y recortar de nuevo por segunda vez con lo que tendremos dos triángulos.

Tomando  sobre la recta RS a partir de S una distancia de 2’4 cm,  con una escuadra y un cartabón  trazaremos una paralela  MN al lado RT en uno de los dos triángulos que hemos recortado.

Después de trazar la paralela nos resultarán dos triángulos semejantes como podéis ver en el triangulo amarillo grande RST, y en el pequeño MSN de la ilustración, en el que podemos observar después de nombrar con una letra mayúscula cada  uno de  sus vértices, que tienen  dos ángulos iguales y  sus lados son proporcionales:

Para ver todo esto consultar la ilustración que sigue:

Estos dos triángulos son: Un triángulo pequeño  SMN  y otro triángulo grande el  RST,

Recortaremos el triángulo pequeño SMN, que nombraremos como  A’ B’ C’,  y, al superponerlo con el otro triángulo grande, comprobaremos que sus tres vértices respectivos tienen la misma abertura. Es decir; que el ángulo A tiene la misma amplitud que el A’; al B  le  ocurre lo mismo con el B’ y el ángulo C coincide también con el C’ por lo que al verificar esto, estaremos demostrando que tienen los tres ángulos iguales por superposición de figuras.

Podremos también comprobar en los dos triángulos  la igualdad de sus ángulos respectivos midiéndolos con el transportador.

Tomemos a continuación una distancia arbitraria como unidad  en este caso hemos cogido el cm y comprobemos cuantas veces cabe en el lado AB. 

Otros elementos  de los triángulos, sus lados, que en los triángulos semejantes son proporcionales, nos conducen a formar con sus dimensiones  una proporción.  Para comprobar todo esto podéis consultar la ilustración que viene a continuación:

Pasos a seguir  para la construcción de dos triángulos semejantes:

1. Dibujar un triángulo cualquiera sobre un papel, cartulina, tablé, panel…etc.

2. Recortar dicho triángulo.

3. Calcarlo de nuevo para obtener así dos triángulos iguales.

4, Tomar una distancia, la que queráis, desde uno de sus vértices al vértice opuesto sobre uno de sus lados.

5. Trazar desde ese punto obtenido una paralela a uno de sus lados.

6. Recortar el triángulo pequeño que nos resulta con lo que habremos obtenido un triángulo semejante al primero que recortamos. 

Una vez realizado todo esto, podremos hacer los siguientes ejercicios:

A, Nombrar con letras mayúsculas cada uno de los vértices de ambos triángulos.

B. Medir los lados del triángulo grande y anotar sus dimensiones.

C. Medir los lados del triángulo pequeño y anotar sus medidas.

D Escribir las tres razones que resultan al comparar las dimensiones de sus lados 
respectivos

D1, Primero con letras.

D2. Después con sus medidas.

D3. Por último escribir las proporciones.

E. Comprobar que dichas proporciones cumplen la propiedad fundamental de las proporciones.

F. Ver  efectivamente que los lados del triángulo grande y los lados del triángulo pequeño son proporcionales.

G. Concluir finalmente, que al tener los tres lados proporcionales, los dos triángulos son semejantes.

También  podemos comprobar y demostrar que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres ángulos iguales, y para ello, podemos utilizar el transportador o medidor de ángulos.  

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Emplear  el dibujo y las construcciones tanto en cartulina como en marquetería  para trabajar un tema de matemáticas, en este caso concreto de geometría, es una de las formas más interesantes de  presentarlo y desarrollarlo,  dando  al alumnado protagonismo y  participación  activa.   

 Las construcciones, sirven al alumno no sólo  para comprobar, estudiar y asimilar los conceptos que en el tema se imparten,  sino que le permiten una participación activa en el tema tanto a nivel  individual como en grupo a la vez que contribuye al desarrollo de   otras capacidades  como son: el razonamiento en general,  la observación , las destrezas manuales y manipulativas... contribuyendo también a fomentar positívamente aspectos estrictamente individuales : como son su sociabilidad y creatividad.