Elementos a considerar en los triángulos semejantes. Proporcionalidad. Razón de semejanza.

Dos triángulos  A B C   y  A’ B’ C’ son semejantes si los ángulos de uno  son, respectivamente, iguales a los ángulos del otro y sus lados son proporcionales.

Hay que aclarar que los elementos de un triangulo son: los lados, los ángulos, los vértices y las alturas.

En el tema de  los triángulos semejantes, para allanar y facilitar al alumnado la comprensión de los conceptos y razonamientos que vamos a utilizar,  deberemos definir lo siguiente:

Ángulos homólogos; vértices homólogos; lados homólogos y alturas homólogas.

El concepto de homólogo es algo difícil de explicar: se dice que existe homología entre los elementos de dos figuras geométricas, cuando una de esas dos figuras es la transformada de la otra. Esta transformación está sujeta a un factor "k" de proporcionalidad denominado también razón de semejanza.

Son homólogos los elementos (lados, ángulos, vértices y alturas) que al menos en dos figuras se corresponden por su posición relativa.

Llevándolo a un lenguaje más llano, si observamos las figuras de dos triángulos semejantes en el que del  primero de ellos surge el segundo triángulo fruto de una transformación por aumento o disminución conforme a un factor de proporcionalidad y a una traslación horizontal del segundo triángulo, centrándonos en uno de sus elementos, los lados, diríamos que son lados homólogos los siguientes:

1. El lado de la derecha del primer triángulo y el lado de la derecha del segundo triángulo; o lo que es lo mismo, el  lado que une el vértice derecho del lado que tomamos como base con el vértice opuesto a dicho lado.

2. El lado de la izquierda del primer triángulo y el lado de la izquierda del segundo triángulo; es decir, el que une el vértice izquierdo del lado tomado como base con el vértice opuesto a dicho lado que hemos tomado como base.

3. El lado tomado como base del primer triángulo y el lado tomado como base del segundo triángulo; es decir, el que une el vértice izquierdo de cada figura con el vértice derecho de cada una de las dos figuras.

Podemos decir también que son homólogos los elementos ya sean lados, ángulos, vértices o alturas, que en cada una de las dos figuras semejantes están colocados en el mismo orden.

Pasemos a definir estos elementos:

Ángulos homólogos o correspondientes:  Llamamos así a los ángulos respectivamente iguales de los dos triángulos.

Vértices homólogos: Son los de los ángulos homólogos.

Lados homólogos: Son los que unen vértices homólogos.

Alturas homólogas: Son las perpendiculares que parten de vértices homólogos hacia el lado opuesto.

Para una mejor visualización de  todos estos conceptos consultar la ilustración que sigue:

Una vez definidos y aclarados lo que son  elementos homólogos a dos triángulos  podemos adentrarnos en todo lo que concierne a  proporcionalidad de segmentos, razón de  semejanza,  y alturas homólogas, estas últimas por habérmelas dejado olvidadas en el tintero.

Llamamos en general razón de semejanza de dos polígonos cualesquiera y en este caso de dos triángulos al cociente constante “k” de cada dos lados homólogos.

Cada lado es “k veces” el lado homólogo del otro triángulo. Al cociente constante “k” se le llama también factor de proporcionalidad.

Denominamos alturas homólogas a las perpendiculares  que parten de vértices homólogos. La razón de dos alturas homólogas es igual a la razón de semejanza.

Valen para los polígonos semejantes las mismas definiciones que he expresado  de ángulos, vértices, lados y alturas homólogas dadas para los triángulos.

En  cuanto a proporcionalidad de segmentos debo decir, que una proporción no es más que la igualdad de dos razones. Y una razón es el cociente indicado de dos cantidades o magnitudes.

Uno de los  entes que utilizamos  con bastante asiduidad en geometría  son los segmentos.  Un segmento  no es más que un trozo de recta comprendida entre dos puntos. Los lados de cualquier polígono, que  constituyen su perímetro o frontera, son segmentos.  Y cada segmento es en realidad una magnitud de longitud,  que como tal  podemos cuantificar con un número, la expresión de una cantidad.

  

La razón de dos segmentos es la medida de uno de ellos cuando se toma el otro por unidad. Se obtiene  midiendo los dos segmentos con una unidad común y dividiendo una medida por la otra. Así si AB = 5 cm y  CD = 9 cm, podremos establecer la siguiente proporción:   AB  es a CD como 5 es a 9.

  

En la ilustración que sigue podemos observar la proporcionalidad de segmentos

Podemos establecer en la ilustración que antecede a este párrafo esta proporción entre las longitudes de los cuatro segmentos porque se cumple la propiedad fundamental de las proporciones, que dice: en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.  Es decir; que 5. 9  (producto de medios) es igual a 3. 15 (producto de los extremos).

Dar utilidad a los conceptos aprendidos es enfrentar al alumnado con la resolución de ejercicios y problemas;  valga como muestra el ejemplo que podéis observar en la ilustración que sigue.

Con esta entrada espero haber completado y desarrollado los conceptos  publicados con anterioridad sobre este tema  y que podéis consultar en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2013/11/semejanza-de-triangulos-su-didactica.html..  O bien en:

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2014/01/casos-de-semejanza-de-triangulos-su.html 
donde podréis también observar las transformaciones realizadas en los triángulos de algunas de las ilustraciones que en ellas aparecen.

Casos de semejanza de triángulos. Su didáctica. Aplicaciones prácticas.

Hay tres casos de semejanzas de triángulos: El primer caso  dice: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.

El segundo caso de semejanza de triángulos dice: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido.

El tercer caso de semejanza es el que enunciamos de la siguiente forma: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales

Para que todo aquél que se acerque a esta entrada vea por qué  al trazar una paralela a cualquiera de los  lados de un triángulo  obtenemos  dos triángulos  que resultan ser semejantes como se afirma en la ilustración,  consultar: http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2013/11/semejanza-de-triangulos-su-didactica.html   o bien,  puede satisfacer su curiosidad  si le apetece, consultando la ilustración sobre el teorema fundamental de la semejanza de triángulos que aparece más adelante en esta entrada. El indagar en ambas ilustraciones,  llegará a aportarnos  un conocimiento más  exhaustivo de los razonamientos que a partir de los supuestos nos llevan a la  demostración. Una u otra, indistintamente, nos servirán para comprobar  lo que el teorema enuncia y ambas  nos llevarán a completar los razonamientos que debemos hacer para llegar con éxito a la demostración o conclusión.

Aclarar al alumnado que en toda demostración conviven  el  almacén de los supuestos o hipótesis y  la alacena con el conjunto de razonamientos que nos llevan a la conclusión final o  tesis, es bastante formativo.  La hipótesis  está constituida por uno o varios supuestos; que no son más, que las condiciones indispensables o necesarias  sin las cuales no puede llegarse de un modo lógico a demostrar el enunciado  al que tenemos que llegar en la conclusión final.  Son las conjeturas que se hacen sobre algo para llegar a dicha conclusión  Disposiciones que son punto de partida  de cualquier demostración.

Tesis, es lo que queremos demostrar.   

El teorema fundamental de la semejanza de triángulos  dice: Toda paralela DE a un lado AB  de un triángulo, determina con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.

Demostrar lo que afirma este teorema fundamental de la semejanza de triángulos al que nos referimos continuamente en los distintos casos de semejanza de triángulos, es lo que podemos ver y corroborar en la ilustración que aparece a continuación:

En realidad los casos de semejanza de triángulos nos plantean el mínimo de supuestos o condiciones necesarias para que dos triángulos sean semejantes. En el supuesto de que cumplan el máximo de condiciones, es decir;  si tienen los tres ángulos iguales y sus  tres lados respectivos son proporcionales,  estaríamos definiendo  en toda su amplitud el concepto geométrico de semejanza de triángulos. 
    

El mínimo de condiciones  como  tener  dos ángulos respectivamente iguales; primer caso de semejanza de triángulos. Dos lados proporcionales  e igual el  ángulo comprendido; segundo caso de semejanza de estos polígonos de tres lados.  Los tres lados proporcionales; tercer caso de semejanza de triángulos. Son puntos de partida para demostrar estas curiosidades geométricas que nos permiten presentar aplicaciones prácticas a los alumnos que servirán para afianzar y desarrollar conceptos y darle utilidad  al tema como podemos observar en la ilustración siguiente.

Enfrentarse a este tema y disfrutar con él,  tanto individualmente, como en grupo y por qué no, haciendo partícipes al propio núcleo familiar de cada alumno,  es una de las metas que un docente puede plantearse alcanzar cuando inicia este tema en sus clases.

Previamente, antes de entrar en el tema, tendremos que pedirles o suministrarles  el material a utilizar así como los útiles o herramientas necesarias a emplear, y dedicar una sesión a trabajar lo siguiente:  la construcción de ángulos sobre una recta con un transportador;  trabajaremos también la medición de ángulos así como el trazado de  paralelas con una escuadra y un cartabón; o con una regla y una escuadra, o con  una regla y un cartabón.  Por último, llevaremos sobre una recta, algunas mediciones realizadas  con compás o bigotera. Una vez  realizado y comprendido todo esto por el alumnado y familiarizados con los útiles y el material, podremos encarar el tema que nos ocupa,  para lo que no habremos necesitado más que una hora del horario de nuestra asignatura.

Es muy interesante  trabajar  la semejanza de triángulos  dibujándolos. En este caso concreto podemos dibujar los que aparecen en la  ilustración anterior  o en cualquiera de las fotos que ilustran esta entrada.

Para ello en primer lugar los dibujaremos bien sobre un panel de los que se utilizan en marquetería o sobre una hoja de cartulina.  Necesitaremos al menos  una serie de útiles como una segueta, pelos planos, acrílicos, pinceles,  un transportador de ángulos, un compás,  una regla milimetrada, escuadra, cartabón... Etc.  Tomaremos  como unidad de medida  para dimensionar sus lados una unidad en concreto: por ejemplo, el cm.

Dibujaremos sobre  el panel o  la cartulina una recta  la  RT.  No importa la inclinación que se de a la recta pues al tomar la medida con el transportador del ángulo R, el lado RS saldrá con la  inclinación debida.. Mediremos el ángulo R del triángulo RST de la ilustración  para sobre la recta RT dibujada en la cartulina o el panel, construir  dicho ángulo R con el  transportador.

Una vez construido tendremos los dos lados del ángulo R.  Desde el vértice R, marcaremos con el compás el punto T, a los 5 cm,  y sobre el lado RS,   el punto S, a los 4 cm. El 

Uniendo el punto S, con el T, tendremos el lado ST del triángulo que completará la  figura y que medirá: ST = 5 cm.

El  triángulo RST  que nos ha resultado estará formado por los lados  RS = 4 cm;   RT = 5 cm, TS = 5 cm  

El  triángulo  RST,  una vez dibujado y recortado, lo volveremos a dibujar y recortar de nuevo por segunda vez con lo que tendremos dos triángulos.

Tomando  sobre la recta RS a partir de S una distancia de 2’4 cm,  con una escuadra y un cartabón  trazaremos una paralela  MN al lado RT en uno de los dos triángulos que hemos recortado.

Después de trazar la paralela nos resultarán dos triángulos semejantes como podéis ver en el triangulo amarillo grande RST, y en el pequeño MSN de la ilustración, en el que podemos observar después de nombrar con una letra mayúscula cada  uno de  sus vértices, que tienen  dos ángulos iguales y  sus lados son proporcionales:

Para ver todo esto consultar la ilustración que sigue:

Estos dos triángulos son: Un triángulo pequeño  SMN  y otro triángulo grande el  RST,

Recortaremos el triángulo pequeño SMN, que nombraremos como  A’ B’ C’,  y, al superponerlo con el otro triángulo grande, comprobaremos que sus tres vértices respectivos tienen la misma abertura. Es decir; que el ángulo A tiene la misma amplitud que el A’; al B  le  ocurre lo mismo con el B’ y el ángulo C coincide también con el C’ por lo que al verificar esto, estaremos demostrando que tienen los tres ángulos iguales por superposición de figuras.

Podremos también comprobar en los dos triángulos  la igualdad de sus ángulos respectivos midiéndolos con el transportador.

Tomemos a continuación una distancia arbitraria como unidad  en este caso hemos cogido el cm y comprobemos cuantas veces cabe en el lado AB. 

Otros elementos  de los triángulos, sus lados, que en los triángulos semejantes son proporcionales, nos conducen a formar con sus dimensiones  una proporción.  Para comprobar todo esto podéis consultar la ilustración que viene a continuación:

Pasos a seguir  para la construcción de dos triángulos semejantes:

1. Dibujar un triángulo cualquiera sobre un papel, cartulina, tablé, panel…etc.

2. Recortar dicho triángulo.

3. Calcarlo de nuevo para obtener así dos triángulos iguales.

4, Tomar una distancia, la que queráis, desde uno de sus vértices al vértice opuesto sobre uno de sus lados.

5. Trazar desde ese punto obtenido una paralela a uno de sus lados.

6. Recortar el triángulo pequeño que nos resulta con lo que habremos obtenido un triángulo semejante al primero que recortamos. 

Una vez realizado todo esto, podremos hacer los siguientes ejercicios:

A, Nombrar con letras mayúsculas cada uno de los vértices de ambos triángulos.

B. Medir los lados del triángulo grande y anotar sus dimensiones.

C. Medir los lados del triángulo pequeño y anotar sus medidas.

D Escribir las tres razones que resultan al comparar las dimensiones de sus lados 
respectivos

D1, Primero con letras.

D2. Después con sus medidas.

D3. Por último escribir las proporciones.

E. Comprobar que dichas proporciones cumplen la propiedad fundamental de las proporciones.

F. Ver  efectivamente que los lados del triángulo grande y los lados del triángulo pequeño son proporcionales.

G. Concluir finalmente, que al tener los tres lados proporcionales, los dos triángulos son semejantes.

También  podemos comprobar y demostrar que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres ángulos iguales, y para ello, podemos utilizar el transportador o medidor de ángulos.  

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Emplear  el dibujo y las construcciones tanto en cartulina como en marquetería  para trabajar un tema de matemáticas, en este caso concreto de geometría, es una de las formas más interesantes de  presentarlo y desarrollarlo,  dando  al alumnado protagonismo y  participación  activa.   

 Las construcciones, sirven al alumno no sólo  para comprobar, estudiar y asimilar los conceptos que en el tema se imparten,  sino que le permiten una participación activa en el tema tanto a nivel  individual como en grupo a la vez que contribuye al desarrollo de   otras capacidades  como son: el razonamiento en general,  la observación , las destrezas manuales y manipulativas... contribuyendo también a fomentar positívamente aspectos estrictamente individuales : como son su sociabilidad y creatividad.