lunes, 30 de enero de 2012

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Modelos de problemas resueltos


Como prometí en una entrada publicada el 17 de diciembre de 2011, titulada “Más sobre factorizar o descomponer en factores primos. Criterios de divisibilidad y múltiplos. Mínimo común múltiplo”  que podéis consultar en:
http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/12/mas-sobre-factorizar-o-descomponer-en.html  y que completa a  la  publicada con  anterioridad, titulada: “Máximo común divisor ¿Por qué lo llamamos así? Número de divisores. Hallar el conjunto de todos los divisores” que vió la luz  el 1 de diciembre de 2011 y que tenéis a vuestra disposición en:
http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2011/12/maximo-comun-divisor-por-que-lo.html  con los que traté de continuar los contenidos tratados en  un tercero que me sirvió para iniciar  este tema  y que  apareció en las páginas de este blog más lejos en el tiempo y al que titulé: “Divisores de un número” publicado el 27 de mayo de 2008 y que si os apetece lo podéis encontrar en:
http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com/2008/05/divisores-de-un-nmero.html  en donde comento  todo lo referente a la mecánica o automatismos que  debemos utilizar o aplicar en los diversos ejercicios que nos pueden plantear,  y  la necesidad que tiene el alumnado de basarse  en  los conocimientos teóricos que les transmitimos sobre dicho tema. 


Para continuar con todo esto, enlazo en la presente entrada con el último párrafo donde expresaba mi intención de trabajar  sobre  las aplicaciones que existen o podemos encontrar  en el campo del raciocinio o resolución de problemas, para abarcar todo lo que acerca del m. c. d. y el m. c. m.,  debe conocer cualquier alumno de los dos primeros cursos de la E. S. O, y de esta forma tomar conciencia de lo necesario e imprescindible que resultan estos conocimientos tanto en la resolución de problemas como en un amplio abanico de ejercicios básicos.

Los enunciados de  problemas que nos pueden aparecer son muy diversos  y pueden ir desde la consabida pregunta “¿Cuál es el menor número que….?”, pasando por enunciados que comienzan expresando lo siguiente: “ Los soldados de un batallón pueden formar en filas de dos en dos, tres en tres, cuarenta y ocho en cuarenta y ocho, ciento veinte en …” u otros como: Tres coches dan vueltas a un circuito el primero tarda en dar cada vuelta  78 segundos; el segundo coche…”  otro  modelo de enunciado es: “Se quiere embaldosar un patio  de  36 m. de largo y 16 m de ancho utilizando el menor nº de baldosas  cuadradas posibles …” Todos estos tipos de enunciados con sus soluciones puedes analizarlos en las ilustraciones que aparecen en este artículo.

Quiero hacer hincapié sobre el cuido que los docentes debemos tener con los enunciados de los problemas. Deben  ser claros y estar bien redactados. El dar clases de matemáticas no nos exime de utilizar el lenguaje con toda la riqueza y belleza que seamos capaces así como de la utilización de todos los recursos que estén  a nuestro alcance.  Facilitaremos de esta forma al alumnado  una mejor comprensión no sólo de los enunciados de los referidos problemas sino también de los contenidos de toda la materia.

 Con este pequeño abanico de enunciados que se  aplican en el campo del razonamiento sobre el m. c. d.  y  m. c. m., dejo por el momento este artículo esperando sea de utilidad a todo aquel que se asome a este blog, especialmente al alumnado que necesite  despejar dudas  u  obtener alguna  información sobre los distintos tipos o  modelos de problemas  que sobre este tema nos pueden aparecer.










jueves, 12 de enero de 2012

Sistro; construcción de este instrumento de percusión.


A principios de la década de los ochenta del no tan lejano siglo XX, al objeto de educar a los alumnos en el aprovechamiento de materiales que no tenían utilidad después del uso al que estaban destinados en un principio y que después de éste terminaban en la basura, comencé a construir dentro del aula de música, en un módulo que establecí al efecto y que denominé “Módulo de construcción de instrumentos”, algunos instrumentos  pertenecientes a las tres categorías, las tan conocidas y denominadas de cuerda, viento, y percusión. Como sabemos esta forma de clasificarlos es por el modo y la forma como producimos en ellos los sonidos y  por los elementos que entran a formar parte de ellos y que hacemos vibrar.

Todos estos instrumentos contribuyeron en primer lugar  al desarrollo en el alumnado  de habilidades y destrezas en el manejo de diversos materiales y herramientas. En segundo lugar a iniciarlos  basándome en la práctica que de este módulo emanaba, en algunos principios básicos de la acústica a la vez que procedíamos a investigar sobre su historia.  Y,  por último, con esta actividad, enriquecíamos  el material del que podíamos disponer en nuestras clases.

Así construimos  claves, sistros, simarras, liras, flautas traveseras, kenas, flautas de balsa o sikus,  rababs con sus arcos…

Para la construcción de todos estos instrumentos, buscábamos y recopilábamos  o adquiríamos una serie de materiales tanto metálicos, como de plástico, sin por supuesto dejar a un lado el fieltro, la caña,  el  PVC,  y toda clase de embalajes, muebles viejos  y cajas de las que pudiéramos obtener paneles o madera.

Entre los más abundantes, la mayoría de ellos tirados a  la basura, se encontraban cuando eran de  madera, algunas cajas de frutas y de verduras que desechaban  almacenes, fruterías, o tiendas de comestibles después de haber  colocado  la mercancía que contenían en los escaparates y mostradores para su venta. Otros materiales utilizados también fueron, trozos de alambre grueso, electrodos,  chapas de botellines o botellas tanto de refrescos como de cervezas, palos cilíndricos  de madera de cepillos o  escobas de barrer viejas que iban a ser arrojados a la basura, en definitiva todo material  que pudiera sernos útil y otros que aportábamos bien de nuestras casas o mediante su adquisición o compra en comercios especializados.  Partiendo de todo lo anteriormente expuesto nos poníamos a trabajar  en la construcción de instrumentos (Uno por curso escolar y por alumno según su dificultad)  entre los que se encontraba el que ha  llegado hasta nosotros a través de la historia y el tiempo y  que se conoce por el nombre de “sistro” que es el protagonista de este artículo.


El sistro es un instrumento de percusión que puede tener forma de  “U” o de herradura con mango. También puede tener forma de raqueta trapezoidal isósceles con un mango que le sirve de asidero.  Tanto el de forma de “U” o de herradura como el de raqueta se encuentra atravesado por dos o tres varillas en las que se ensartan  platillos metálicos, que se hacen sonar  de dos formas distintas: sacudiéndolo o agitándolo al aire, o percutiéndolo o golpeándolo sobre la palma de la mano.

Como he dicho anteriormente, el sistro,  es un instrumento de pequeña percusión perteneciente a los idiófonos. De esta forma lo califica el “Atlas de Música 1” de Ulrich Michels, publicado por Alianza Editorial en 1983,  en el capítulo dedicado a la organología. Pertenece a  los idiófonos este  instrumento porque produce el sonido por la vibración del instrumento entero. El sistro  era utilizado en las fiestas religiosas del antiguo Egipto. Hoy día se usa también en algunas ceremonias de las “Iglesias cristianas Coptas” de Egipto y Etiopía. Se dice en este Atlas musical, que pertenece a los idiófonos sacudidos; denominándolo sistro o “sonaja de Isis”. Comenta también que los actuales están formados por un marco de metal en forma de herradura con laminillas metálicas suspendidas.

En la “Historia general de la música” de Alec Robertson, Denis Stevens… etc. publicado por ediciones Istmos en 1972, para España y todos los países de lengua castellana, en su primer volumen,  hace referencia al “sistro”, cuyo nombre latino “sistrum” que procede del griego “seistron”,  quiere decir (cosa que se agita). Al agitarlo produce un sonido tintineante y metálico. Se dice en este tratado que los egipcios denominaban a este tipo de sonido “sehem.” Que quiere decir “fuerza” símbolo de la energía o poder divino.
Con este instrumento (el sistro) se acompañaban los cantos en honor a Isis y Neftis, en las ceremonias religiosas.

En la “Historia de la música” de Hugo Riemann,  en su sexta edición (D. L 1958) se hace una brevísima mención del sistro, manifestando que desempeñaba su papel  junto con otros instrumentos como crótalos y sonajas.  

¿Cómo lo construíamos?

De una caja o embalaje de frutas o verduras sacábamos los pequeños listones o tablitas que la formaban y las  cortábamos y  preparábamos para la construcción del sistro. Necesitábamos que el instrumento fuese  fuerte y consistente. Al ser estas tablitas muy   delgadas (de  3  a 3’5  mm.) de espesor, utilizábamos el doble de tablitas para superponerlas y   unirlas entre si con cola blanca de carpintero y  darles a cada una de ella  de esta forma más grosor. Pegándolas de  dos en dos, conseguíamos disponer de una tablitas  o  piezas de madera más adecuadas para la construcción de este instrumento.

A continuación relaciono el número de tablitas que teníamos que preparar debido al poco grosor de estas maderas que eran sólo algo más gruesas que un panel.

Dos tablitas de 38 cm de largo y 1’8 cm de  ancho para fabricar el mango.

Dos tablitas de 13 cm de largo y 1’8 cm de ancho para la empuñadura del mango colocadas por encima y por debajo de las dos  previamente utilizadas para fabricar el mango, con lo que la empuñadura del mango estaba formada por cuatro tablitas.

Cuatro tablitas de 18’5 cm de largo por 1’8 de ancho para los lados isósceles del marco de forma trapezoidal.

Dos tablitas de 13 cm de largo y 1’8 de ancho para formar  los dos listones que darán origen al  transversal  inferior y mas corto del marco trapezoidal cuando tenemos el instrumento asido por el mango para hacerlo sonar..

Dos tablitas de 21’5 cm de largo y 1’8 de ancho para los listones transversales  del centro que dividirán el trapecio en dos partes iguales.

Dos tablitas de 25 cm de largo y 1’8 de ancho para los listones transversales superiores y más largos del marco trapezoidal.

Una vez construido el armazón de madera procedíamos a colocar las varillas en el centro de las cuatro ventanas  o espacios que quedaban delimitados  en el  armazón de forma trapezoidal.  Previamente después de haber agujereado tanto el mango  como los lados oblicuos del marco trapezoidal  introducíamos el alambre e íbamos ensartando las chapas de cervezas y refrescos en ellas.

Con anterioridad habíamos taladrado las chapas o tapones de corona después de haber buscado su centro, de haberlas situado sobre una madera con la corona hacia arriba mirando hacia nosotros, de haberles trazado a renglón seguido a cada una de ellas  dos líneas perpendiculares y utilizado  o un trompo con una broca del, 2;  2.5  o el 3, según la sesión del alambre o del centro metálico del electrodo, o una simple puntilla de acero y un martillo para que golpeándolos sobre la madera taladrar por el punto marcado los referidos tapones o chapas.   

Podríamos construir el sistro utilizando en vez de las chapas de cerveza o refrescos, los platillos de metal de cualquier pandereta vieja o en desuso o adquiriendo estos platillos en cualquier casa de instrumentos musicales.







Espero que con todo lo aquí expuesto podáis construir este instrumento en vuestras clases. Hay otro tipo de sistro o sonaja del que hablaré en otro artículo  y que al ser mucho mas sencillo  puede realizarse con alumnos de menor edad concretamente con alumnos  de  3º o 4º de Primaria.

miércoles, 4 de enero de 2012

Las medidas de capacidad y volumen; su utilidad en la vida diaria.






Con este artículo pretendo que seamos conscientes de la importancia que tienen en la vida diaria todas las materias del currículo a pesar de las preguntas que algunos alumnos se hacen: ¿Y esto a mí para qué va a servirme?
En el tema concreto que a continuación expreso necesitamos de la lengua, las matemáticas, y como no, también del dibujo; todas estas disciplinas unidas nos servirán para poder entender y asimilar todo su contenido.

Las medidas de capacidad son las que nos sirven para medir líquidos. Su unidad principal es el litro que lo podemos definir como lo que es capaz de contener o albergar un recipiente de un decímetro cúbico.

Un decímetro cúbico es una figura geométrica que tiene un decímetro de longitud en cada una de sus aristas. Dicha figura tiene en las tres dimensiones (largo, ancho y alto) un decímetro de longitud. Es decir; es un cubo que tiene un decímetro de ancho, por un decímetro de largo, y por un decímetro de alto.

Para aclararnos aún más; Un decímetro, es una medida de longitud de una sola dimensión: el largo; que tiene 10 cm.

Un decímetro cuadrado, es una medida de superficie que tiene en cada una de sus dos dimensiones (largo y ancho) 10 cm. Es decir que tiene 100 cm2 de superficie. Todo esto es lo mismo que manifestar; que un decímetro cuadrado tiene 10 cm de ancho por 10 cm de largo.

Un decímetro cúbico, es una medida de capacidad o de volumen. Tiene tres dimensiones; largo, ancho o profundo, y alto. El decímetro cúbico tiene 10 cm de largo en cada una de sus tres dimensiones. Tiene la capacidad o puede albergar en el interior que limitan sus caras una cantidad de líquido igual a 1000 cm3. Todo esto nos lleva a afirmar que un decímetro cúbico, tiene 10 cm de largo, por 10 cm de ancho y por 10 cm de alto.

¿Por qué digo que un decímetro cúbico es una medida de capacidad o de volumen? El decímetro cúbico es una medida de capacidad porque capacidad es la cantidad de sustancia ya sea esta líquida o árida (arena) que puede contener este decímetro cúbico entre sus paredes o caras. Por otro lado podemos decir que el decímetro cúbico es una medida de volumen porque volumen es el lugar que ocupa un cuerpo en el espacio.

El lugar que ocupa un cuerpo en el espacio es único. Otro cuerpo lo podemos situar encima del que está ya situado, al lado, debajo… pero nunca en el mismo espacio que ya está ocupado.

En el espacio ya ocupado no puede ser alojado otro cuerpo y en este caso el decímetro cúbico ocupa ya un dm3 de espacio, desplazando incluso al aire que estaba en ese lugar.

Me queda por aclarar lo que es un cubo. Un cubo es una figura geométrica que tiene seis caras que son cuadrados y por ello la denominamos también hexaedro o poliedro de seis caras.

Los alumnos tanto de los últimos niveles de primaria como de los dos primeros cursos de la E. S. O., necesitan ver todo esto de un modo práctico. Necesitamos una práctica para poder entender bien que en un decímetro cúbico cabe un litro de cualquier líquido ya sea esta agua, aceite, leche… Para ello, si no disponemos de un juego de medidas tanto de capacidad como de volumen con el que podamos llenar, vaciar y en definitiva manipular líquidos o áridos, sería importante al menos construir en clase un decímetro cúbico con cartulina y realizar la comprobación con una botella de litro de agua vertiéndola en el cubo que acabamos de construir, para comprobar que el líquido de la botella cabe al completo en la figura construida sin poder añadirle ni una gota más.

Todo lo que hasta el momento estoy comentando necesita apoyarse en las matemáticas y dentro de ella en la geometría y en el sistema métrico decimal. Ambos apartados matemáticos nos dan junto con los de otras disciplinas los conocimientos necesarios para poder utilizarlos en la vida diaria y para que lleguemos con seguridad mediante el raciocinio apoyado en el conocimiento a anteponer la razón a las primeras impresiones.

Y al hilo de todo esto, nos vemos frecuentemente sorprendidos por campañas publicitarias que sobre todo en tiempo de crisis, cuando la actividad económica es menor, inundan el espacio en que nos movemos con anuncios ingeniosos que nos invitan a consumir.

Así en algunas cervecerías aparecen reclamos publicitarios como: “No al botellón si al botellín” y a renglón seguido aparece una oferta: “Cubo de cinco botellines por 3€”.

A dicha oferta no le falta una imagen que refuerza la bondad de la misma. Cubo de zinc, hielo picado casi a la mitad, y, asomándose a su borde, curiosos, como si no quisieran perderse lo que desde allí se observa, los cinco botellines y el correspondiente abridor

Este anuncio, deja a la imaginación del consumidor y más si aprieta el calor, todo lo demás.

Este anuncio impresiona porque a priori tiene sólo aspectos positivos.

A primera vista con este anuncio nos invitan a un consumo moderado de alcohol al cambiar el vocablo botellón que con sólo pronunciarlo nos indica que tiene más capacidad y por lo tanto más cantidad de alcohol, por el de botellín que de por si indica una botella más pequeña cuyo contenido es mucho más reducido y por consiguiente mas pobre tanto en cantidad de líquido como en cantidad de alcohol.

En la oferta nos ofrecen 5 botellines por 3 €; un regalo. Pero si dejamos actuar a la razón y nos cuestionamos la oferta veremos que: Un botellón o botella de cerveza contiene un litro de la referida cerveza.

Un botellín es 1/5 de dicho litro de cerveza con lo que cinco botellines son equivalentes al botellón. Tanto los cinco botellines como el botellón contienen un litro de cerveza.

Si una botella de litro de cerveza o botellón podemos adquirirla en cualquier comercio o hipermercado por cantidades que oscilan de 1’20 a 1’30 €, y cinco botellines que contienen la misma cantidad de cerveza nos lo ofertan por 3€ la diferencia de precio es de 3 € – 1’30 € = 1’70 €

Es decir: que con el dinero que empleo en un litro de cerveza fraccionado en botellines puedo adquirir doble cantidad de cerveza y aún me sobrarían cuarenta céntimos.
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Debo decir que:
El botellón tiene 100 cl = 1 litro = 1 dm3 = 1000 ml
El botellín tiene 20 cl = 1/5 de litro = 200 ml

El precio que estamos pagando en la mayoría de los establecimientos es por consumir dicha oferta retirándola nosotros mismo del mostrador; es decir, utilizando la modalidad de autoservicio. Sólo por añadir un refresco de naranja, limón o cola. si alguno de los que nos reunimos no toma cerveza y un cartucho de altramuces, deberemos añadir otros 3 € con lo cual estaremos abonando por todo ello 6 €; el doble de lo que anuncia la oferta.

Por supuesto desde aquí invito a que seamos consumidores conscientes y que sepamos con claridad meridiana lo que en realidad nos cuesta la cerveza que tomamos en un momento de tertulia, relax y esparcimiento aunque para ello tengamos que utilizar las tan denostadas matemáticas, que tantos problemas han planteado a algunos en la etapa de estudiante.