MATEMÁTICAS EN TU DÍA A DÍA.

En nuestro día a día nos ocurren multitud de situaciones en las que tenemos la necesidad de conocer la cantidad que debemos satisfacer a la Administración por la venta de una casa, coche o cualquier objeto de nuestra propiedad, si deja de ser nuestro durante una fracción del periodo por el que se nos cobra el impuesto. Si no hemos disfrutado de él todo el periodo impositivo, es decir; el año completo no debes hacerte cargo de la totalidad del mismo. Un ejemplo claro es el que te pongo a continuación que cualquiera puede solucionar con un sencillo problema matemático, lo podemos averiguar mediante una sencilla regla de tres, o por una igualdad de dos razones; una proporción.

Leamos el enunciado: 

Un señor vende su coche después de haber circulado durante los tres primeros meses del año 2016. Si el impuesto de circulación anual es de 44,30 € ¿Cuánto corresponde pagar a cada uno por el tiempo que circula?

DATOS:                                                   

Valor del impuesto anual 44,30 €.   

Tiempo un año = 12 meses.               

INCÓGNITAS

Son dos incógnitas las que deberemos averiguar. 

X1.  ¿Cuánto se paga por 9 meses?

X2. ¿Cuánto se paga por 3 meses?

Podemos razonar y expresar verbalmente la regla de tres de la forma que aparece en la imagen.

O bien siendo más específicos la podemos expresar  así:

Seguiremos con el razonamiento de la regla de tres añadiéndole la denominación no expresada hasta ahora de sus términos y el modo de averiguar si es directa o inversa. 

La razonamos así: 

Si por doce meses pago 44,30€

Por nueve meses pagaré  X1

Expresaremos la regla de tres; 

12 meses——44,30 €     

9 meses———   X1          

En esta regla de tres son extremos 12 y X1; y, son medios 44,30 y 9. 

La incógnita X1 al ser una regla de tres directa la tendremos que averiguar mediante el siguiente razonamiento: un extremo ( X1) la incógnita, es igual al producto de los dos medios (44,30 . 9) partido por el extremo conocido (12). 

¿Porqué decimos que es directa? 

Es una regla de tres directa porque  va de más a más y de menos a menos. Pues cuanto más tiempo circulas, más dinero tendrás que pagar; del mismo modo, si disfrutas menos tiempo del vehículo menos tendrás que pagar como es lógico. 

Al despejar, nos resulta que: 

X1=  44,30x9   = 33,22 €.   

                12 

X1 = 33,22 €  Que es el precio que hay que pagar por circular nueve meses.

X2 es la diferencia entre lo que hay que pagar al año (los doce meses) de lo pagado por circular nueve meses.

X2 = 44,30€ - 33,22€ = 11,08€     

X2 = 11,08 € Es el precio que deberemos abonar por circular tres meses.

33,22€ Es lo que tiene que pagar el comprador por los nueve meses que circula.

11,08€  Es lo que tiene que pagar el vendedor por los tres meses que ha circulado.

También podemos resolverlo por una proporción 

Proporción: Una proporción no es más que la igualdad de dos razones.

Y, razón, no es más que el cociente indicado de dos números. 

 

12 = 44,30                                             

  9.         X1

O bien. 12/9 = 44,30/X1

Resolviendo, razonaremos de la misma forma que en la regla de tres.

X1= 44,30 . 9/12 = 44,30 . 9  =  

                                           12

=   398,70  =  33,22 €. 

          12

33,22 €  Es lo que deberá pagar el comprador al circular durante nueve meses.

44,30€ - 33,22€ = 11,08 €  

11,08 €. Es la cantidad que deberá pagar el vendedor por haber circulado menos tiempo, es decir, sólo tres meses.

Por lo tanto el resultado de las dos incógnitas son: 

         X1 = 33,22 €.               X2 = 11,08 €. 

En este caso concreto el impuesto es una minucia pero no siempre es así.

Espero que todo el que esté dando sus primeros pasos por esta disciplina, observe como debe razonar partiendo de conceptos fundamentales y vea lo útiles que son en la vida diaria tanto las proporciones como la regla de tres; en definitiva, lo útiles que pueden ser las a veces poco apreciadas y denostadas matemáticas.

Semejanza de triángulos: Su didáctica.

Durante los últimos años de docencia observé que la parte del temario que  se deja para el final del curso escolar se toca poco o no da tiempo a tratarla con la suficiente intensidad. Esto es lo que a veces sucede en la asignatura de matemáticas con los temas de geometría, que al dejarlos para el final,  por  unas u  otras causas, ante la inminente finalización del curso, se dan de pasada, debido  a la falta material de tiempo con la mira puesta casi exclusivamente en  cumplir la programación.

La geometría es una parte de las matemáticas que necesita del razonamiento, del dibujo y de  las manualidades para demostrar muchos de sus teoremas, definiciones, corolarios, propiedades… etc. Por lo tanto juega un papel importante en el desarrollo de las facultades intelectuales y habilidades manuales  de los alumnos,  a la vez que requiere de la utilización y manejo  de un material y utensilios  apropiados  para trabajar los conceptos que en ella se estudian.

Para introducir el concepto de semejanza hay que enfrentarlo al concepto de igualdad y tratar de no fundamentarnos en otros conceptos de la propia geometría, que el alumno o  ha olvidado, o no posee  y, que abordarlos en ese momento para mitigar sus carencias, supondría hacer este tema mucho más extenso y complicado.

Hay que tratar de comunicar de la forma más fácil y evidente buscando el no apoyarnos en principio en conocimientos  adquiridos con anterioridad en cursos inferiores, pues la mayoría de las veces, éstos no satisfarán nuestras previsiones. Si no hay mas remedio,  deberemos procurar que estos conocimientos sirvan de trampolín para  aclarar y hacer comprensibles los nuevos conceptos  que vamos a suministrar, fluyendo durante la exposición de una forma natural. Deberá ser una prioridad el que aparezcan totalmente integrados en el tema. 

En Geometría dos triángulos son semejantes  si tienen todos sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Ver la ilustración que aparece a continuación.

Partiendo de la definición de ángulo que dice: “ángulo es la abertura formada por dos líneas que se cortan o unen en un punto llamado vértice”. Podemos demostrar la igualdad de los tres ángulos de dos triángulos como aparece en la ilustración que sigue sin razonamientos complicados,  sólo utilizando para ello  la superposición de figuras..

Esto  puede llevarse a cabo en clase, utilizando una cartulina, unas tijeras, una escuadra y  un cartabón. Calcaremos dos veces el modelo de triángulo suministrado por el  profesor que utilizaremos como triángulo patrón.  Y con la escuadra y el cartabón trazaremos una paralela a uno de los lados de  uno de los triángulos que hemos calcado. Observaremos que en ese triángulo se nos ha formado un triángulo pequeño que recortaremos para realizar la demostración.   

 Numeraremos los ángulos  tanto en el triángulo pequeño que nos ha resultado al trazar la paralela con los números (1’. 2’. 3’), como en el triángulo grande, que hemos dejado sin tocar y cuyos ángulos hemos numerado con los digitos (1, 2, 3).

 Superpondremos el triángulo pequeño por el ángulo 1’  con  el ángulo 1 del triángulo grande para comprobar si son iguales, Repetiremos lo mismo con los otros ángulos comprobando de esta forma que también son iguales.

De esta forma habremos demostrado que los triángulos semejantes tienen sus tres ángulos iguales.

Como  podéis ver para efectuar la demostración, se ha obviado la  clasificación de los ángulos  y  por supuesto el conjunto de ángulos que surgen cuando  dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, que expondré en una próxima entrada. En ésta, sólo he definido lo que es un ángulo.     

Podemos deducir  y enunciar de todo lo expuesto anteriormente el teorema fundamental de la semejanza de triángulos que dice: Toda paralela  A’B’ a un lado AB  de un triángulo determina con los otros dos lados  un triángulo semejante al primero. Aquí introducimos el concepto de ángulos correspondientes como podemos ver en la ilustración que aparece a continuación.

Los temas a impartir deben tener una utilidad evidente, es decir; que los alumnos no puedan decir y esto a mi para qué me  va a servir. Para no dar tiempo a que se cuestionen la utilidad del tema que estamos estudiando, los llevaremos a calcular la altura de un edificio o  de una torre conociendo la sombra que proyecta en ese momento.  Para ello utilizaremos  una regla, palo o tutor  como podemos ver en la ilustración que sigue, aplicando lo expuesto en la semejanza de triángulos.

Es importante aplicar la teoría aprendida sobre este tema en una clase práctica; al aire libre. Para ello podemos salir del aula  a cualquier parque para averiguar la altura de algunos árboles y edificios del entorno. Para esta actividad  es interesante  dividir al alumnado en grupos de  cuatro o cinco miembros y dotarlos con una cinta métrica (un decámetro) y una regla de obra de metal o madera.

Para establecer la proporción diremos: La altura de la torre es a su sombra, como la altura de la regla es a la sombra que proyecta. La altura de la torre será igual al producto de los medios partido por el extremo conocido.

  

En una próxima entrada trabajaremos más sobre la semejanza de triángulos, y   abordaremos  otros recursos a utilizar en este tema.