El Inquieto Jubilado Cristóbal: Elementos a considerar en los triángulos semejantes. Proporcionalidad. Razón de semejanza.

Dos triángulos A B C y A’ B’ C’ son semejantes si los ángulos de uno son, respectivamente, iguales a los ángulos del otro y sus lados son proporcionales.

Hay que aclarar que los elementos de un triangulo son: los lados, los ángulos, los vértices y las alturas.

En el tema de los triángulos semejantes, para allanar y facilitar al alumnado la comprensión de los conceptos y razonamientos que vamos a utilizar, deberemos definir lo siguiente:

Ángulos homólogos; vértices homólogos; lados homólogos y alturas homólogas.

El concepto de homólogo es algo difícil de explicar: se dice que existe homología entre los elementos de dos figuras geométricas, cuando una de esas dos figuras es la transformada de la otra. Esta transformación está sujeta a un factor "k" de proporcionalidad denominado también razón de semejanza.

Son homólogos los elementos (lados, ángulos, vértices y alturas) que al menos en dos figuras se corresponden por su posición relativa.

Llevándolo a un lenguaje más llano, si observamos las figuras de dos triángulos semejantes en el que del primero de ellos surge el segundo triángulo fruto de una transformación por aumento o disminución conforme a un factor de proporcionalidad y a una traslación horizontal del segundo triángulo, centrándonos en uno de sus elementos, los lados, diríamos que son lados homólogos los siguientes:

1. El lado de la derecha del primer triángulo y el lado de la derecha del segundo triángulo; o lo que es lo mismo, el lado que une el vértice derecho del lado que tomamos como base con el vértice opuesto a dicho lado.

2. El lado de la izquierda del primer triángulo y el lado de la izquierda del segundo triángulo; es decir, el que une el vértice izquierdo del lado tomado como base con el vértice opuesto a dicho lado que hemos tomado como base.

3. El lado tomado como base del primer triángulo y el lado tomado como base del segundo triángulo; es decir, el que une el vértice izquierdo de cada figura con el vértice derecho de cada una de las dos figuras.

Podemos decir también que son homólogos los elementos ya sean lados, ángulos, vértices o alturas, que en cada una de las dos figuras semejantes están colocados en el mismo orden.

Pasemos a definir estos elementos:

Ángulos homólogos o correspondientes: Llamamos así a los ángulos respectivamente iguales de los dos triángulos.

Vértices homólogos: Son los de los ángulos homólogos.

Lados homólogos: Son los que unen vértices homólogos.

Alturas homólogas: Son las perpendiculares que parten de vértices homólogos hacia el lado opuesto.

Para una mejor visualización de todos estos conceptos consultar la ilustración que sigue:

Una vez definidos y aclarados lo que son elementos homólogos a dos triángulos podemos adentrarnos en todo lo que concierne a proporcionalidad de segmentos, razón de semejanza, y alturas homólogas, estas últimas por habérmelas dejado olvidadas en el tintero.

Llamamos en general razón de semejanza de dos polígonos cualesquiera y en este caso de dos triángulos al cociente constante “k” de cada dos lados homólogos.

Cada lado es “k veces” el lado homólogo del otro triángulo. Al cociente constante “k” se le llama también factor de proporcionalidad.

Denominamos alturas homólogas a las perpendiculares que parten de vértices homólogos. La razón de dos alturas homólogas es igual a la razón de semejanza.

Valen para los polígonos semejantes las mismas definiciones que he expresado de ángulos, vértices, lados y alturas homólogas dadas para los triángulos.

En cuanto a proporcionalidad de segmentos debo decir, que una proporción no es más que la igualdad de dos razones. Y una razón es el cociente indicado de dos cantidades o magnitudes.

Uno de los entes que utilizamos con bastante asiduidad en geometría son los segmentos. Un segmento no es más que un trozo de recta comprendida entre dos puntos. Los lados de cualquier polígono, que constituyen su perímetro o frontera, son segmentos. Y cada segmento es en realidad una magnitud de longitud, que como tal podemos cuantificar con un número, la expresión de una cantidad.

La razón de dos segmentos es la medida de uno de ellos cuando se toma el otro por unidad. Se obtiene midiendo los dos segmentos con una unidad común y dividiendo una medida por la otra. Así si AB = 5 cm y CD = 9 cm, podremos establecer la siguiente proporción: AB es a CD como 5 es a 9.

En la ilustración que sigue podemos observar la proporcionalidad de segmentos

Podemos establecer en la ilustración que antecede a este párrafo esta proporción entre las longitudes de los cuatro segmentos porque se cumple la propiedad fundamental de las proporciones, que dice: en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Es decir; que 5. 9 (producto de medios) es igual a 3. 15 (producto de los extremos).

Dar utilidad a los conceptos aprendidos es enfrentar al alumnado con la resolución de ejercicios y problemas; valga como muestra el ejemplo que podéis observar en la ilustración que sigue.