Durante los últimos años de docencia
observé que la parte del temario que se
deja para el final del curso escolar se toca poco o no da tiempo a tratarla con
la suficiente intensidad. Esto es lo que a veces sucede en la asignatura de
matemáticas con los temas de geometría, que al dejarlos para el final, por unas
u otras causas, ante la inminente
finalización del curso, se dan de pasada, debido a la falta material de tiempo con la mira
puesta casi exclusivamente en cumplir la
programación.
La geometría es una parte de las
matemáticas que necesita del razonamiento, del dibujo y de las manualidades para demostrar muchos de sus
teoremas, definiciones, corolarios, propiedades… etc. Por lo tanto juega un
papel importante en el desarrollo de las facultades intelectuales y habilidades
manuales de los alumnos, a la vez que requiere de la utilización y
manejo de un material y utensilios apropiados
para trabajar los conceptos que en ella se estudian.
Para introducir el concepto de
semejanza hay que enfrentarlo al concepto de igualdad y tratar de no
fundamentarnos en otros conceptos de la propia geometría, que el alumno o ha olvidado, o no posee y, que abordarlos en ese momento para mitigar
sus carencias, supondría hacer este tema mucho más extenso y complicado.
Hay que tratar de comunicar de la forma
más fácil y evidente buscando el no apoyarnos en principio en conocimientos adquiridos con anterioridad en cursos inferiores, pues la mayoría de las veces, éstos no satisfarán nuestras previsiones. Si no hay mas
remedio, deberemos procurar que estos
conocimientos sirvan de trampolín para aclarar y hacer comprensibles los nuevos conceptos que vamos a suministrar, fluyendo durante la exposición de una forma natural. Deberá ser una prioridad el que aparezcan totalmente
integrados en el tema.
En Geometría dos triángulos son
semejantes si tienen todos sus ángulos
iguales y sus lados son proporcionales. Ver la ilustración que aparece a
continuación.
Partiendo de la definición de
ángulo que dice: “ángulo es la abertura formada por dos líneas que se cortan o
unen en un punto llamado vértice”. Podemos demostrar la igualdad de los tres
ángulos de dos triángulos como aparece en la ilustración que sigue sin razonamientos complicados, sólo utilizando
para ello la superposición de figuras..
Esto puede llevarse a
cabo en clase, utilizando una cartulina, unas tijeras, una escuadra y un cartabón. Calcaremos dos veces el modelo de
triángulo suministrado por el profesor que
utilizaremos como triángulo patrón. Y con
la escuadra y el cartabón trazaremos una paralela a uno de los lados de uno de los triángulos que hemos calcado. Observaremos
que en ese triángulo se nos ha formado un triángulo pequeño que recortaremos para realizar la demostración.
Numeraremos los ángulos
tanto en el triángulo pequeño que nos ha
resultado al trazar la paralela con los números (1’ . 2’ . 3’ ), como en el triángulo grande, que hemos dejado sin tocar y cuyos ángulos hemos numerado con los digitos (1, 2, 3).
Superpondremos el triángulo
pequeño por el ángulo 1’
con el ángulo 1 del triángulo grande para comprobar
si son iguales, Repetiremos lo mismo con los otros ángulos comprobando de esta
forma que también son iguales.
De esta forma habremos demostrado que los triángulos
semejantes tienen sus tres ángulos iguales.
Como podéis ver para efectuar la demostración, se ha obviado la clasificación de los ángulos y por supuesto el conjunto de ángulos que
surgen cuando dos rectas paralelas son
cortadas por una transversal, que expondré en una próxima entrada. En ésta, sólo he definido lo que es un
ángulo.
Podemos deducir y enunciar de todo lo expuesto anteriormente
el teorema fundamental de la semejanza de triángulos que dice: Toda
paralela A’B’ a un lado AB de un triángulo determina con los otros dos
lados un triángulo semejante al primero.
Aquí introducimos el concepto de ángulos correspondientes como podemos ver en
la ilustración que aparece a
continuación.
Los temas a impartir deben tener
una utilidad evidente, es decir; que los alumnos no puedan decir y esto a mi
para qué me va a servir. Para no dar
tiempo a que se cuestionen la utilidad del tema que estamos estudiando, los
llevaremos a calcular la altura de un edificio o de una torre conociendo la sombra que
proyecta en ese momento. Para ello utilizaremos
una regla, palo o tutor como podemos ver en la ilustración que sigue,
aplicando lo expuesto en la semejanza de triángulos.
Es importante aplicar la teoría aprendida sobre este tema en
una clase práctica; al aire libre. Para ello podemos salir del aula a cualquier parque para averiguar la altura
de algunos árboles y edificios del entorno. Para esta actividad es interesante dividir al alumnado en grupos de cuatro o cinco miembros y dotarlos con una cinta métrica (un decámetro) y una
regla de obra de metal o madera.
Para establecer la proporción diremos: La altura de la torre es a su sombra, como la altura de la regla es a la sombra que proyecta. La altura de la torre será igual al producto de los medios partido por el extremo conocido.
Para establecer la proporción diremos: La altura de la torre es a su sombra, como la altura de la regla es a la sombra que proyecta. La altura de la torre será igual al producto de los medios partido por el extremo conocido.
En una próxima entrada trabajaremos más sobre la semejanza
de triángulos, y abordaremos
otros recursos a utilizar en este tema.
