Tabla de todos los números primos inferiores a 100.

Construir una tabla de números primos con todos los primos que  pueden encontrarse entre los números 1 al 100, es un ejercicio en el que los alumnos deben tener muy claro  en primer lugar,  los conceptos de número primo y número compuesto.  En segundo lugar deberán conocer y utilizar los criterios de divisibilidad;  y, en último lugar,  deberemos pedir a los alumnos que sean ordenados y sigan las normas o protocolo que le habremos expuesto con anterioridad y que constituirá el procedimiento a seguir para obtenerla..

Para trabajar todo esto con los alumnos, no dejar ningún hilo suelto y tapar cualquier laguna que en ellos podamos observar,   podéis consultar las direcciones que os expreso a continuación: :  

http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2011/12/mas-sobre-factorizar-o-descomponer-en.html en la que entramos de lleno en los criterios de divisibilidad y en los diferentes caminos a utilizar para  hallar el máximo común divisor y mínimo común múltiplo. En http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2011/12/maximo-comun-divisor-por-que-lo.html  nos acercamos al concepto de divisor de un número, y a los diferentes métodos que podemos utilizar para hallar el máximo común divisor, como son: el conjunto de todos los divisores y la descomposición factorial o factorización. En http://elinquietojubiladocristobal.blogspot.com.es/2008/05/divisores-de-un-nmero.html os invito a construir con los alumnos  una tabla para hallar el conjunto  de todos los divisores de un número.

Siguiendo en el empeño de construir la tabla de los números primos entre el 1 y el 100 tendremos que realizar lo siguiente:

Comenzaremos definiendo  el conjunto de números  en el que nos vamos a mover, y dentro de este conjunto, definiremos a su vez los conceptos de primo y compuesto.

Deberemos aclararles que en el conjunto de los números naturales  N,  existen dos tipos de números: los números primos, y los números compuestos.

¿Qué es un número primo? Es aquel que  sólo es divisible por si mismo y por la unidad.

Ejemplo: el 17, sólo es divisible por 17 y por 1. Por lo tanto es un número primo.

¿Qué es un número compuesto? El que además de ser divisible por si mismo y por la unidad, lo es también por otro u otros números.

Ejemplo: el 24, es divisible por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24, por lo tanto es un número compuesto porque es divisible por si mismo, 24; por la unidad, 1; y además lo podemos dividir también por 2, 3, 4, 6, 8,  y 12. Por lo que sin lugar a dudas es un número compuesto.

Deberemos  expresar la diferencia que existe entre infinito e ilimitado. Infinito, es lo que no tiene ni principio ni fin; e ilimitado, es lo que tiene principio pero no tiene fin.

Podremos poner ejemplos cercanos al alumno como: En una carretera  o una autopista, hay dos direcciones o sentidos, supongamos que  dicha autopista va de Norte a Sur y que nos encontramos en el punto cero, un sitio  desde donde podemos observar la carretera  mirando a nuestra derecha o a nuestra izquierda. Al mirar hacia la derecha, seguimos  con la mirada   uno de los sentidos en que podemos desplazarnos  por ella y observamos  que dicha carretera o autopista nunca termina  y, al mirar a nuestra izquierda  vemos también que tampoco  en esa dirección nuestra carretera o autopista tampoco termina. Ese es el concepto de infinito.

Infinito es cuando por mucho tiempo  que estemos desplazándonos en un sentido desde ese punto cero. nunca llegamos al norte pues siempre este punto  está mas lejos de nosotros resultando  inalcanzable. .Nos ocurre lo mismo cuando  nos desplazamos en sentido contrario desde ese punto cero  hacia el sur, tampoco llegamos nunca  pues el sur también nos resulta inalcanzable..     

Sin embargo ilimitado es cuando por esa autopista seguimos un solo sentido; vamos solo hacia el norte y hemos iniciado nuestro viaje en el punto cero, donde comienza el asfalto de dicha vía, que es donde nos encontramos,   pero nunca podemos alcanzar el norte pues el asfalto, la vía por la que nos desplazamos, nunca termina. Tiene principio pues ahí comienza el asfalto, pero desplazándonos  en esa dirección nunca llegamos al final de la carretera, no tiene fin. Ilimitado es cuando tiene principio pero no tiene fin.

La serie de los números naturales es ilimitada porque tiene principio  el 1, pero no tiene final pues el último número de la serie  siempre puede ser el siguiente número al que podemos tener en mente en ese instante como último; es decir, siempre podemos aumentarle al último número de la serie, una unidad más.

La serie de los números primos es también ilimitada por la misma razón; tiene principio pero no tiene final como ocurre  con los números naturales..

Para obtener la tabla de todos los números primos que existen entre el número 1 y el 100 deberemos seguir un protocolo: los pasos que a continuación se expresan y que vienen reflejados en la ilustración que aparece a continuación..

Profundizaremos aún más en el procedimiento a seguir para confeccionar la tabla:

1.  Escribiremos  todos los números desde el 1 al 100.

2. Tacharemos los números pares a partir del 2, excepto el 2, pues este es un número primo; eliminaremos de la tabla en cuestión, todos los números de dos en dos a partir del dos. Dicho de otro modo, eliminaremos de la tabla todos los números que terminen en cero o cifra par; es decir, todos los números que sean divisibles por dos.

De esta forma desparecerán de la tabla del 1 al 100,  todos los números pares menos uno, el 2 . los números que no aparecerán en dicha tabla  son  los siguientes : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38,  40, 42, 44, 46, 48, 50 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64,  66,  68, 70,  72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96,  98 y  el 100.

3.  A continuación tacharemos todos los múltiplos de 3;  es decir, borraremos de la tabla todos los números de tres en tres a partir del tres menos los pares  como el 12, 18, 24, 30 36… etc., que hemos eliminado con anterioridad por ser divisibles por dos  Estos números son:3, 6, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87,  93 y el  99.

4. Seguidamente, tacharemos todos los múltiplos de 5; es decir,  desaparecerán todos los números de cinco en cinco a partir del cinco excepto éste. Expresado de otra forma eliminaremos todos los números terminados en cero o en cinco; es decir, todos los números que sean divisibles por cinco  Así  que se omitirán de la tabla los siguientes números:  25, 35, 55, 65, 85, 95  pues el resto ha sido eliminado con anterioridad al eliminar los números pares y múltiplos de tres.

5.  Siguiendo con la serie de primos, tacharemos   todos los múltiplos de 7; es decir, eliminaremos de la tabla todos los números de siete en siete a partir del siete y sólo nos quedará por eliminar el 49, 77 y el 91 pues los demás habrán sido  ya eliminados.

 

Comprobaremos que después de haber eliminados todos los múltiplos de  2, 3, 5 y 7  ya tenemos confeccionada la tabla de números primos desde el 1 al 100.

Pero para asegurarnos  que hemos puesto todos los primos existentes entre el 1 y el 100 seguiremos comprobando con los múltiplos de los primos que siguen a continuación  y que son: 11, 13,  17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.

6.  Al tratar de eliminar los múltiplos del siguiente primo el 11,  comprobaremos que los que debíamos eliminar, el  22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99 ya han sido eliminados.

7.  Al tratar de eliminar los múltiplos de  13, nos daremos cuenta que el 26, 39, 52,  65,  78,  91 , también han sido eliminados.

8.  Con los múltiplos de 17,  que son 34, 51, 68 y  85, comprobaremos que tampoco aparecen en la tabla lo mismo que los múltiplos de 19 que son el 38, 57, 76 y  95, así como los múltiplos de 23, el  46,  69, y 92 , los múltiplos de 29, el  58 y 87 y los múltiplos  de 31 que son el 62 y 93 y el  único múltiplo de 37 que puede haber entre el 1 y el 100 y que es el 74,  no aparece en la tabla al igual que todos los anteriores que no están por haber sido eliminados todos ellos con anterioridad..

 9. El único múltiplo de 41 comprendido entre el 1 y el 100, el 82, el de 43, el 86 y el de 47, el 94, también han sido eliminados. Al continuar con los múltiplos de primos mayores observamos que se escapan del límite que nos hemos fijado que es el de los números comprendidos entre el 1 y el 100.

Con esta comprobación, nos habremos asegurado  haber confeccionado la tabla de números primos  del 1 al 100 sin que nos  falte ninguno.

Sobre lo expresado en esta y anteriores entradas, quedan aún pendientes aspectos didácticos y de contenidos que abordaré próximamente.