Semejanza de triángulos: Su didáctica.

Durante los últimos años de docencia observé que la parte del temario que  se deja para el final del curso escolar se toca poco o no da tiempo a tratarla con la suficiente intensidad. Esto es lo que a veces sucede en la asignatura de matemáticas con los temas de geometría, que al dejarlos para el final,  por  unas u  otras causas, ante la inminente finalización del curso, se dan de pasada, debido  a la falta material de tiempo con la mira puesta casi exclusivamente en  cumplir la programación.

La geometría es una parte de las matemáticas que necesita del razonamiento, del dibujo y de  las manualidades para demostrar muchos de sus teoremas, definiciones, corolarios, propiedades… etc. Por lo tanto juega un papel importante en el desarrollo de las facultades intelectuales y habilidades manuales  de los alumnos,  a la vez que requiere de la utilización y manejo  de un material y utensilios  apropiados  para trabajar los conceptos que en ella se estudian.

Para introducir el concepto de semejanza hay que enfrentarlo al concepto de igualdad y tratar de no fundamentarnos en otros conceptos de la propia geometría, que el alumno o  ha olvidado, o no posee  y, que abordarlos en ese momento para mitigar sus carencias, supondría hacer este tema mucho más extenso y complicado.

Hay que tratar de comunicar de la forma más fácil y evidente buscando el no apoyarnos en principio en conocimientos  adquiridos con anterioridad en cursos inferiores, pues la mayoría de las veces, éstos no satisfarán nuestras previsiones. Si no hay mas remedio,  deberemos procurar que estos conocimientos sirvan de trampolín para  aclarar y hacer comprensibles los nuevos conceptos  que vamos a suministrar, fluyendo durante la exposición de una forma natural. Deberá ser una prioridad el que aparezcan totalmente integrados en el tema. 

En Geometría dos triángulos son semejantes  si tienen todos sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Ver la ilustración que aparece a continuación.

Partiendo de la definición de ángulo que dice: “ángulo es la abertura formada por dos líneas que se cortan o unen en un punto llamado vértice”. Podemos demostrar la igualdad de los tres ángulos de dos triángulos como aparece en la ilustración que sigue sin razonamientos complicados,  sólo utilizando para ello  la superposición de figuras..

Esto  puede llevarse a cabo en clase, utilizando una cartulina, unas tijeras, una escuadra y  un cartabón. Calcaremos dos veces el modelo de triángulo suministrado por el  profesor que utilizaremos como triángulo patrón.  Y con la escuadra y el cartabón trazaremos una paralela a uno de los lados de  uno de los triángulos que hemos calcado. Observaremos que en ese triángulo se nos ha formado un triángulo pequeño que recortaremos para realizar la demostración.   

 Numeraremos los ángulos  tanto en el triángulo pequeño que nos ha resultado al trazar la paralela con los números (1’. 2’. 3’), como en el triángulo grande, que hemos dejado sin tocar y cuyos ángulos hemos numerado con los digitos (1, 2, 3).

 Superpondremos el triángulo pequeño por el ángulo 1’  con  el ángulo 1 del triángulo grande para comprobar si son iguales, Repetiremos lo mismo con los otros ángulos comprobando de esta forma que también son iguales.

De esta forma habremos demostrado que los triángulos semejantes tienen sus tres ángulos iguales.

Como  podéis ver para efectuar la demostración, se ha obviado la  clasificación de los ángulos  y  por supuesto el conjunto de ángulos que surgen cuando  dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, que expondré en una próxima entrada. En ésta, sólo he definido lo que es un ángulo.     

Podemos deducir  y enunciar de todo lo expuesto anteriormente el teorema fundamental de la semejanza de triángulos que dice: Toda paralela  A’B’ a un lado AB  de un triángulo determina con los otros dos lados  un triángulo semejante al primero. Aquí introducimos el concepto de ángulos correspondientes como podemos ver en la ilustración que aparece a continuación.

Los temas a impartir deben tener una utilidad evidente, es decir; que los alumnos no puedan decir y esto a mi para qué me  va a servir. Para no dar tiempo a que se cuestionen la utilidad del tema que estamos estudiando, los llevaremos a calcular la altura de un edificio o  de una torre conociendo la sombra que proyecta en ese momento.  Para ello utilizaremos  una regla, palo o tutor  como podemos ver en la ilustración que sigue, aplicando lo expuesto en la semejanza de triángulos.

Es importante aplicar la teoría aprendida sobre este tema en una clase práctica; al aire libre. Para ello podemos salir del aula  a cualquier parque para averiguar la altura de algunos árboles y edificios del entorno. Para esta actividad  es interesante  dividir al alumnado en grupos de  cuatro o cinco miembros y dotarlos con una cinta métrica (un decámetro) y una regla de obra de metal o madera.

Para establecer la proporción diremos: La altura de la torre es a su sombra, como la altura de la regla es a la sombra que proyecta. La altura de la torre será igual al producto de los medios partido por el extremo conocido.

  

En una próxima entrada trabajaremos más sobre la semejanza de triángulos, y   abordaremos  otros recursos a utilizar en este tema.  

Jabones y fenoles.

Como  continuación a la entrada publicada el 09 – 10 – 2013, titulada: “las  funciones nitrogenadas. Funciones amida, amina y  nitrilo. Los ácidos grasos”, y, con la finalidad de ahondar un poco más sobre todo esto,  abordaré  unos compuestos carbonados que están íntimamente relacionados con las grasas entre los que se encuentran los jabones, que podemos definirlos como  sales naturales de los ácidos grasos; así por ejemplo, un jabón es:

El estearato sódico. Cuya fórmula es:

CH₃ –  (CH₂) ₁₆ - COONa  

Otro jabón es: El palmitato de plomo. O jabón de plomo, cuya formula es

[CH₃ –  (CH₂) ₁₆ – COO]₂ Pb  

Los jabones proceden de la reacción química entre un compuesto alcalino (hidróxido sódico o hidróxido potásico)  y un ácido graso.  A este tipo de reacción se le llama saponificación. 

Los jabones más importantes son los sódicos y se obtienen desdoblando las grasas por la acción del hidróxido sódico.. La reacción  se parece mucho a una saponificación  de donde proviene el nombre de jabón.

El ácido graso a utilizar en la reacción puede ser de origen vegetal o animal, por ejemplo, manteca de cerdo o vacuno o aceite de coco, de palma o de oliva.

Para separar el jabón se agrega una disolución de sal común que lo  insolubiliza y por lo tanto se separa del líquido yendo a flote, de esta manera se puede recoger, prensarlo y  cortarlo en pedazos. Como en cada grasa natural tenemos en realidad una mezcla de oleína, palmitina y estearina; en un jabón, tendremos por lo tanto sales de los tres ácidos (esteárico, palmítico y oléico).

Los jabones se clasifican en duros que son los  sódicos, blandos o potásicos y en plastos o jabones de plomo usados en farmacia.  Si quisiéramos obtener un jabón formado exclusivamente por una sal de un acido graso, no por las tres, se toma el acido graso puro se combina con el hidróxido sódico y se obtendrá agua y sal.

CH₃ – (CH₂)₁₄ – COOH + Na OH = H₂O + CH₃ – (CH₂)₁₄ – COONa  

Los jabones se aplican fundamentalmente a la limpieza de las grasas. Dicha limpieza se realiza principalmente por la espuma que forman, la cual arrastra la grasa por absorción.

Las funciones orgánicas que hemos definido hasta ahora eran de cadena abierta pero también pueden existir  las mismas funciones orgánicas en los cuerpos de la química cíclica, o sea, la de las combinaciones de cadena cerrada. Nos referimos a las más importantes que son las derivadas del núcleo del benceno.

Los carbonos del núcleo del benceno, al observarlos,  vemos que tienen un solo átomo de hidrógeno y en consecuencia sobre este núcleo únicamente  podrán fijarse directamente aquellas funciones orgánicas que requieren un solo átomo de hidrógeno, como la función alcohol y amina cuyos grupos funcionales respectivos son (- OH – NH₂).. Ambos grupos funcionales,  el grupo funcional OH del alcohol, y el grupo NH₂  de la amina, son monovalentes.

  

La entrada del oxidrilo OH, origina cuerpos de este tipo que reciben el nombre de fenoles;  la entrada del grupo NH₂ en el núcleo origina las llamadas aminas cíclicas; en particular esta es la amina cíclica del benceno. Podemos verla representada en la  imagen que sobre las combinaciones cerradas ilustra esta entrada.

De los hidrocarburos  derivados del benceno  también pueden formarse  fenoles y encimas siempre que el grupo funcional OH o NH₂, se fije directamente sobre el núcleo y no sobre las cadenas laterales.

LOS FENOLES: Tienen propiedades parecidas a los alcoholes originando con los ácidos ESTERES,  y reaccionando entre si,  ÉTERES.  Pero los fenoles, tienen una propiedad diferenciada con los alcoholes, y es, su carácter ligeramente ácido; por que su hidrógeno, el del grupo funcional OH, puede ser reemplazado por metales originando FENATOS O FELONATOS.

El fenol en forma pura es un sólido cristalino de color blanco-incoloro cuya fórmula química es C₆H₅OH, se sintetiza a través de la oxidación parcial del benceno, utilizándose en la fabricación de fibras sintéticas como el nylón, en la producción de resinas fenólicas y por regla general en  la industria química  y farmacéutica  así como en medicina, empleándose  tanto como fungicida, bactericida, antiséptico y desinfectante.  

El fenol también se utiliza para producir agroquímicos, el bisfenol A como materia prima para producir resinas y policarbonatos.

¿Qué es el  bisfenol A? Es un compuesto orgánico con dos grupos funcionales fenol. Se usa en el proceso de fabricación de la aspirina y  también en los procesos de fabricación de preparaciones medicas como enjuagues bucales, grageas para el dolor de garganta… etc.

El bisfenol  A, conocido también por las siglas BPA, si se ingiere, dependiendo de su concentración, puede producir en el ser humano, envenenamiento, vómitos, irritación de las vías respiratorias, decoloración de la piel… etc. Inyectado, el fenol es letal.

El fenol es por desgracia uno de los principales desechos de  las industrias Carbonífera y Petroquímica, que al entrar en contacto con el cloro de las aguas tratadas para el consumo,  forma compuestos fenilclorados muy solubles y tóxicos para las células a las que contaminan atravesando sus membranas con suma facilidad.  

Hemos dado un paso más en el conocimiento de los compuestos carbonados,  viendo la utilidad de estos, en algunos procesos industriales. En otros procesos, no pasan de ser un producto de desecho y tóxico celular, ocurriendo esto último cuando estos compuestos entran en contacto con el  cloro utilizado para el tratamiento de aguas  para el consumo. También quedan enumerados algunos de los riesgos que podemos padecer al ingerir alguno de ellos.